正規分布：未知の平均、既知の分散
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 08:32 UTC 版)
「指数型分布族」の記事における「正規分布：未知の平均、既知の分散」の解説
未知の平均値 μ {\displaystyle \mu } と既知の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} による正規分布を考える。確率密度関数は f σ ( x ; μ ) = 1 2 π σ 2 exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) . {\displaystyle f_{\sigma }(x;\mu )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).} これは、次のように設定することで、単一パラメーターの指数型分布族であることが分かる。 h σ ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ( − x 2 2 σ 2 ) T σ ( x ) = x σ A σ ( μ ) = μ 2 2 σ 2 η σ ( μ ) = μ σ . {\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[4pt]T_{\sigma }(x)&={\frac {x}{\sigma }}\\[4pt]A_{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\\[4pt]\eta _{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu }{\sigma }}.\end{aligned}}} σ 2 = 1 {\displaystyle \sigma ^{2}=1} 、すなわち η σ ( μ ) = μ {\displaystyle \eta _{\sigma }(\mu )=\mu } の場合、これは正準型となる。
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