材料の構成式
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材料の構成式（ざいりょうのこうせいしき、英: constitutive equation of materials）とは、物体を構成する物質の外的作用に対する応答特性を表現する関係式である。構成方程式は物質の特性を反映する関係式であるため、材料定数と呼ばれる物性量が必ず含まれている[1]。現実の物質は離散的な原子や分子の集まりであるが、構成方程式はこれらの詳細には立ち入らず連続体として理想化した場合における物理量の間の関係を記述する。材料力学においては物質の力学的特性、すなわち、外力に対する変形を表現する応力-歪みの関係式が構成方程式と呼ばれる。より広くは電磁気的な関係まで含めて構成方程式と呼ばれるが、熱力学的な関係を含む場合は状態方程式と呼び分けられる。
- ^ 京谷孝史 著、非線形CAE協会 編『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年、211頁。ISBN 978-4-627-94811-2。
- ^ 北野 (2015)
- ^ Particle Data Group
構成則
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弾性とは、ある位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} の応力がそこの変形勾配 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} を用いると、 P = P ( F ( X ) , X ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} と書ける。 特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 t 0 {\displaystyle t_{0}} における状態と t {\displaystyle t} における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 Φ {\displaystyle \Phi } が得られる。 Φ ( F ( X ) , X ) = ∫ t 0 t P ( F ( X ) , X ) : F ˙ d t {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt} Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} Φ ( F , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {X}})} と考えると、 Φ ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}} は Φ ˙ = ∑ i , J = 1 3 ∂ Φ ∂ F i J F ˙ i J {\displaystyle {\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}} と書ける。これを: Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} と比較すると、 P i J {\displaystyle P_{iJ}} は P i J = ∂ Φ ∂ F i J {\displaystyle P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}} と書ける。結局、 P ( F ( X ) , X ) = ∂ Φ ( ( X ) , X ) ∂ F {\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}} と表される。ここで、 C = F T F {\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}} より、 Φ {\displaystyle \Phi } を C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} の関数として表す。 Φ ( F ( X ) , X ) = Φ ( C ( X ) , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} 1 2 C ˙ = E ˙ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}} より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} について同様の式展開を行うと、 Φ ˙ = ∂ Φ ∂ C : C ˙ = 1 2 S : C ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}} S ( C ( X ) , X ) = 2 ∂ Φ ∂ C = ∂ Φ ∂ E {\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}} となる。
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