折線近似からの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 01:35 UTC 版)
函数 y = f (x) で与えられる曲線が求長可能であるものと仮定する。曲線上の点 a から b までの f に沿った弧長 S を近似するために、斜辺を連結して曲線の弧を「被覆」できるような直角三角形の列を構成する。簡単のため、全ての三角形の底辺は等しく Δx であるものとすると、その各々の三角形に対して高さ Δy が対応づけられて、斜辺の長さがピタゴラスの定理により Δ x 2 + Δ y 2 = 1 + ( Δ y Δ x ) 2 Δ x {\displaystyle {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x} と与えられる。S を近似する n 個の斜辺の長さの和は S ≈ ∑ i = 1 n 1 + ( Δ y i Δ x i ) 2 Δ x i {\displaystyle S\approx \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}} と書けるが、Δx を小さく取るにつれて近似の精度は上がり、Δx を 0 に近づける極限で S と等しくなる。すなわち、 S = lim Δ x i → 0 ∑ i = 1 ∞ 1 + ( Δ y i Δ x i ) 2 Δ x i = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle S=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx} が得られる。
※この「折線近似からの導出」の解説は、「弧長」の解説の一部です。
「折線近似からの導出」を含む「弧長」の記事については、「弧長」の概要を参照ください。
- 折線近似からの導出のページへのリンク
