基本公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 06:15 UTC 版)
また次のような基本的な公式が成り立つ。 ∑ d ∣ n μ ( d ) = { 1 ( n = 1 ) 0 ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&(n=1)\\0&(n\neq 1)\end{cases}}} (1) これは n = 1 のときは自明である。n が 1 より大きい場合について、平方因子をもつ因数 d については μ(d) = 0 であるから、n が平方因子をもたない場合を見ておけばよい。n は k 個の素数の積であるとする。n の約数は、その素因数をいくつか掛け合わせたものになるが、偶数個（0 を含む）の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = 1 であり、奇数個の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = −1 となるから、因子の組合せの数を考慮すれば ∑ d ∣ n μ ( d ) = k C 0 − k C 1 + k C 2 − k C 3 + ⋯ + ( − 1 ) k k C k = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i k C i = ( 1 − 1 ) k = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid n}\mu (d)&={}_{k}\mathrm {C} _{0}-{}_{k}\mathrm {C} _{1}+{}_{k}\mathrm {C} _{2}-{}_{k}\mathrm {C} _{3}+\dotsb +(-1)^{k}{}_{k}\mathrm {C} _{k}\\[-10pt]&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{}_{k}\mathrm {C} _{i}=(1-1)^{k}=0\end{aligned}}} が確かめられる。最後から二つ目の等号は二項定理による。 また、μ(n) は 1 の原始 n 乗根の和である。すなわち μ ( n ) = ∑ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n exp ( 2 π k i / n ) {\displaystyle \mu (n)=\!\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\exp(2\pi ki/n)} が成り立つ。n > 1 のとき 1 の n 乗根の和は 0 であるから、これは上の公式 (1) の別証明を与える。 より一般に、 f を乗法的な数論的関数とすると、 ∑ d | n μ ( d ) f ( d ) = ∏ p | n ( 1 − f ( p ) ) {\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)f(d)=\prod _{p|n}(1-f(p))} (2) が成り立つ。
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