可除群の構造定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:39 UTC 版)
G を可除群とすると、G の捩れ部分群 Tor(G) は可除である。可除群は入射加群であるから、Tor(G) は G の直和因子（英語版）である。したがって G = Tor ( G ) ⊕ G / Tor ( G ) {\displaystyle G=\operatorname {Tor} (G)\oplus G/\operatorname {Tor} (G)} G / Tor ( G ) = ⨁ i ∈ I Q = Q ( I ) {\displaystyle G/\operatorname {Tor} (G)=\textstyle \bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}} となる。捩れ部分群の構造は決定するのが難しいが、すべての素数 p に対してある I p {\displaystyle I_{p}} が存在して ( Tor ( G ) ) p = ⨁ i ∈ I p Z [ p ∞ ] = Z [ p ∞ ] ( I p ) {\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}=\textstyle \bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}} となることを示すことができる。ここで ( Tor ( G ) ) p {\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}} は Tor(G) の p-準素成分である。 したがって、P を素数全体の集合とすれば、 G = ( ⨁ p ∈ P Z [ p ∞ ] ( I p ) ) ⊕ Q ( I ) . {\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.} 集合 I および p∈P に対して Ip の濃度は群 G によって一意的に決まる。
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