可除性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/25 14:56 UTC 版)
素数冪のトーシェント関数 φ とシグマ関数 σ0, σ1 の値は次式で計算される。 φ ( p n ) = p n − 1 φ ( p ) = p n − 1 ( p − 1 ) = p n − p n − 1 = p n ( 1 − 1 p ) , {\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),} σ 0 ( p n ) = ∑ j = 0 n p 0 ⋅ j = ∑ j = 0 n 1 = n + 1 , {\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,} σ 1 ( p n ) = ∑ j = 0 n p 1 ⋅ j = ∑ j = 0 n p j = p n + 1 − 1 p − 1 . {\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.} 素数冪は全て不足数である。素数冪 pn は n-概素数である。友愛数となる素数冪 pn があるかどうかは不明である。もしあるとしたら、その pn は101500より大きく、また n は1400より大きい必要がある。
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