区間の分割
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/22 12:10 UTC 版)
数学において実数直線上の区間 [a, b] の分割（ぶんかつ、英: partition）とは、実数からなる
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- ^ Dudley, Richard M. & Norvaiša, Rimas (2010). Concrete Functional Calculus. Springer. p. 2. ISBN 9781441969507.
- 1 区間の分割とは
- 2 区間の分割の概要
- 3 分割の細分
- 4 点付き分割
区間の分割
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
詳細は「区間の分割」を参照 区間 [a, b] の分割とは a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b} なる形の数の有限列である。各 [xi, xi+1] をこの分割の小区間 (subinterval) と呼ぶ。分割の大きさ (mesh, norm) とは最長の小区間の長さ max 0 ≤ i ≤ n ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \max _{0\leq i\leq n}(x_{i+1}-x_{i})} をいう。区間 I の点付き分割 (tagged partition) P(x, t) とは、各 i に対して xi ≤ ti ≤ xi+1 なる条件を満たす有限数列 t0, …, tn−1 を備えた分割をいう。つまり、点つき分割は分割の各小区間に識別のための点をとったものである。点付き分割の大きさは、（識別点をとらない）通常の分割におけるものと同一とする。
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区間の分割
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ℝn 上のリーマン積分を定義する為、いくつかの概念を定義する。 ℝn の部分集合 I で、 I = [ a 1 , b 1 ] × ⋯ × [ a n , b n ] {\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]} の形で書けるものを（有界閉）区間といい、I の直径 diam(I) と(n 次元)体積 v(I) を以下のように定義する： diam ( I ) = max i = 1 , … , n ( b i − a i ) , v ( I ) = ∏ i = 1 n ( b i − a i ) . {\displaystyle \operatorname {diam} (I)=\max _{i=1,\ldots ,n}(b_{i}-a_{i}),\quad v(I)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).} I を区間とするとき、区間の集合 D で以下の性質を満たすものを I の分割という： a i = x i , 0 < x i , 1 < ⋯ < x i , m i = b i {\displaystyle a_{i}=x_{i,0}<x_{i,1}<\cdots <x_{i,m_{i}}=b_{i}} を満たす実数の組 {xi,j} が存在し、Ji,j := [xi,j, xi,j+1] とするとき、D は J 1 , j 1 × ⋯ × J n , j n {\displaystyle J_{1,j_{1}}\times \cdots \times J_{n,j_{n}}} の形に書ける区間全体の集合である。 さらに組 ξ = { ξ J } J ∈ D {\displaystyle \xi =\{\xi _{J}\}_{J\in D}} で「任意の J ∈ D に対し ξJ ∈ J」を満たすものを D の代表系 といい、I の分割 D とその代表系 ξ の組 (D, ξ) を I の点付き分割という。
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