五心の位置ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 17:55 UTC 版)
三角形五心 (重心、内心、傍心、外心、垂心) の位置ベクトル P {\displaystyle P} は、頂点の位置ベクトル A , B , C {\displaystyle A,B,C} を用いて、一般式 P = w A A + w B B + w C C w A + w B + w C {\displaystyle P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}}} で記述される。 w A , w B , w C {\displaystyle w_{A},w_{B},w_{C}} は、次の表に整理される重みである。 S {\displaystyle S} はヘロンの公式でも得られる三角形の面積。 w A {\displaystyle w_{A}} w B {\displaystyle w_{B}} w C {\displaystyle w_{C}} w A + w B + w C {\displaystyle w_{A}+w_{B}+w_{C}} 重心 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle 3} 内心 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} a + b + c {\displaystyle a+b+c} 傍心 − a {\displaystyle -a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} − a + b + c {\displaystyle -a+b+c} a {\displaystyle a} − b {\displaystyle -b} c {\displaystyle c} a − b + c {\displaystyle a-b+c} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} − c {\displaystyle -c} a + b − c {\displaystyle a+b-c} 外心 a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) {\displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})} b 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) {\displaystyle b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})} c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})} 16 S 2 {\displaystyle 16S^{2}} 垂心 a 4 − ( b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}} b 4 − ( c 2 − a 2 ) 2 {\displaystyle b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}} c 4 − ( a 2 − b 2 ) 2 {\displaystyle c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}} 16 S 2 {\displaystyle 16S^{2}} a ≡ B C ¯ = ( B C → , B C → ) , {\displaystyle a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},} b ≡ C A ¯ = ( C A → , C A → ) , {\displaystyle b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},} c ≡ A B ¯ = ( A B → , A B → ) , {\displaystyle c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},} 16 S 2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) . {\displaystyle 16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).}
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