ローレンツ変換の物理的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「ローレンツ変換の物理的解釈」の解説
詳細は「en:Derivations of the Lorentz transformations」を参照 慣性座標系 (ct, x, y ,z) にいる観測者 A は、原点を通過した後、(ct, 0, 0, 0) という直線（世界線）にそって進んでいく。この様子を別の観測者 B の慣性座標系 (ct′, x′, y′, z′) で記述した式は(L3)式に (x, y, z) = (0, 0, 0) を代入した ( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( c t cosh ζ − c t sinh ζ 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\cosh \zeta \\-ct\sinh \zeta \\0\\0\end{pmatrix}}} によって表現できる。この世界線の「傾き」 x ′ / t ′ = − c tanh ζ {\displaystyle x'/t'=-c\tanh \zeta } は2人の観測者の相対速度と解釈できるので、観測者 A から見た観測者 B の相対速度を v とすると、 v = c tanh ζ {\displaystyle v=c\tanh \zeta } となる。よって、 cosh ζ = 1 1 − tanh 2 ζ = 1 1 − ( v / c ) 2 , {\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}},} sinh ζ = tanh ζ 1 − tanh 2 ζ = ( v / c ) 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle \sinh \zeta ={\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}={\frac {(v/c)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}} である。そこでローレンツ因子 γ を γ := 1 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle \gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}} と定義すると、以下が導かれる： 相対速度を用いたローレンツ変換の表示 ― 観測者Aから見た観測者Bの相対速度を v とするとき、必要なら空間方向の座標軸を回転させる事で、ローレンツ変換は ( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( ( c t − x ⋅ ( v / c ) ) γ ( x − v t ) γ y z ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}ct'\\x'\\y'\\z'\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(ct-x\cdot (v/c))\gamma \\(x-vt)\gamma \\y\\z\end{array}}\right)} (L4) と書ける。 我々は(L4)式やそれと同値な(L3)式を導くとき、空間方向の座標変換をおこなった。これは別の見方をすると、ローレンツ変換から空間方向の回転成分を取り除いたものが(L3)式や(L4)式であるということである。 (L3)式や(L4)式のように書けるローレンツ変換、すなわち空間方向に回転しないローレンツ変換の事をローレンツ・ブーストと呼ぶ。
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