シュラム・レヴナー発展
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確率論では、パラメータ κ を持つシュラム・レヴナー発展(英: Schramm–Loewner evolution, SLE)は、確率論的レヴナー発展(SLEκ)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中からスケール極限(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である弧状の SLE(chordal SLE)と、もう一つは固定された（領域の）内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である放射状の SLE(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。
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シュラム・レヴナー発展
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「シュラム・レヴナー発展」の記事における「シュラム・レヴナー発展」の解説
シュラム・レヴナー発展は、上のセクションで述べたのように、レヴナー方程式によって駆動函数 ζ ( t ) = κ B ( t ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)} で与えられたランダム曲線 γ である。ここに、 B(t) はある実数 κ によりスケーリングされた D の境界上のブラウン運動である。言い換えると、シュラム・レヴナー発展は、この写像の下のウィーナー測度の像として与えられ、平面上の確率測度である。 一般に、曲線 γ は単純である必要はなく、領域 Dt は D の中の補集合 γ([0,t]) でもない。 曲線の族を使うSLEには 2つのバージョンがあり、非負である実数のパラメータ κ に依存している。 弧状 SLEκは、領域の境界上の 2点をつなぐ曲線と関係している。（普通は、0 と無限遠点をもつ上半平面上で考える。） 放射状 SLEκは、領域内部の点と境界上の点を結ぶ曲線と関係している。（単位円板の 1 と 0 をつなぐ曲線であることもある。） SLEは領域の境界上のブラウン運動の選択に依存し、使うブラウン運動の種類によっていくつかの変形がある。例えば、固定点から出発するかもしれないし、単位円上の一様に分布した点から出発することもありかもしれないし、動くような設定になっているかもしれないような場合もあるし、他にも考えられる。パラメータ κ はブラウン運動の散乱率を制御し、SLEの振る舞いは κ の値に強く依存する。 シュラム・レヴナー発展で共通に使われる 2つの領域は、上半平面と単位円板である。レヴナーの微分方程式はこの 2つの場合で異なっているが、それらは、単位円板と上半平面が共形同値であるので、変数変換により同値となっている。しかしながら、これらの間の共形同値はシュラム・レヴナーの発展を駆動するブラウン運動は保存されない。
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