池田写像 池田写像の概要

ウィキペディア

池田写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/20 03:33 UTC 版)

${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{i(|z_{n}|^{2}+C)}}$

オリジナルの池田写像は非線形光共振器 (リングレーザー（英語版）、非線形誘電体を含む) における光の軌跡のモデルとして池田研介により提案された。 池田研介、大同寛明、秋元興一により上記の単純化した形に一般化された^[1]。

${\displaystyle z_{n}}$は共振器内の回転のn番目のステップにおける共振器内の電場を表し、${\displaystyle A}$と${\displaystyle C}$はそれぞれ、外部からのレーザー光線と共振器の線形位相を示すパラメータである。

特に、パラメータ${\displaystyle B(<=1)}$は振る舞いを特徴づける散逸パラメータと呼ばれ、${\displaystyle B=1}$の極限で池田写像は保存系になる。

非線形誘電体の飽和効果を考慮に入れ、オリジナルの池田写像に修正を施した以下の形で使用される事が多い。

${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}}$

上記を実2次元平面に描く場合、

${\displaystyle x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,}$

${\displaystyle y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),\,}$

となる。ここで、uはパラメータであり、

${\displaystyle t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.}$

である。幾つかの値のuでは、この系はカオスな振る舞いを示す。