歪エルミート行列 例

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歪エルミート行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 13:37 UTC 版)

例

例として、次の行列は歪エルミート行列である。

${\begin{bmatrix}0&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}$

性質

多くの点で歪エルミート行列はエルミート行列とちょうど反対の性質を持つ。

• 歪エルミート行列の成分を虚数単位 i で除することによりエルミート行列にできる。すなわち歪エルミート行列 A に対して

$A=iH$

を満たす H はエルミート行列となる。実際、(iH)^* = −iH^* なので iH は歪エルミートである。同様に −iH も歪エルミートである。従って、A/i = −iA および A/(−i) = iA はエルミートである。

• 歪エルミート行列 A の対角成分はすべて純虚数である。

${\left(A^{*}\right)}_{ii}={\overline {A_{ii}}}=-A_{ii}\quad \left(1\leq i\leq n\right)\$

従って、そのトレースも純虚数である。

• 歪エルミート行列 A の固有値 λ は 0 または純虚数である。固有値方程式 Aξ = λξ を満たす行列 A の固有ベクトル ξ について、ξ^*Aξ = λξ^*ξ は以下の関係を満たす。

$\xi ^{*}A\xi ={(A^{*}\xi )}^{*}\xi =-{(A\xi )}^{*}\xi ~~\Longrightarrow ~~\lambda =-{\bar {\lambda }}$

従って、λ の実部は 0 でなければならない。またこのとき、歪エルミート行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する。

$\eta ^{*}A\xi =\lambda _{\xi }\eta ^{*}\xi =-{\bar {\lambda }}_{\eta }\eta ^{*}\xi =\lambda _{\eta }\eta ^{*}\xi ~~\Longrightarrow ~~\eta ^{*}\xi =0$

• 歪エルミート行列の実数倍と、歪エルミート行列の和はまた歪エルミートである。つまり、実数 α, β,... と歪エルミート行列 A, B,... について次の関係が成り立つ。

$\left(\alpha A+\beta B+\cdots \right)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}+{\bar {\beta }}B^{*}+\dots =-\left(\alpha A+\beta B+\cdots \right)$

• 歪エルミート行列は正規行列であり、歪エルミート行列 A は、

$AA^{*}=A^{*}A$

を満たす。実際、AA^* = A(−A) = (−A)A = A^*A であり、A と A^* は可換である。

• 任意の正方行列 M はエルミート行列 H と歪エルミート行列 A の和として一意に表せる。

$M=H+A$

行列 M + M^* はエルミートであり、M − M^* は歪エルミートであるので、これらを H/2 および A/2 と定義すれば上述の関係を得る。

• 歪エルミート行列の冪乗 A^p は、指数 p が奇数なら歪エルミート、偶数ならエルミートである。

${\left(A^{p}\right)}^{*}={\left(A^{*}\right)}^{p}={\left(-1\right)}^{p}A^{p}\!$

• A が歪エルミートならば行列指数関数 e^A はユニタリ行列になる。

${(\mathrm {e} ^{A})}^{*}=\mathrm {e} ^{A^{*}}=\mathrm {e} ^{-A}={(\mathrm {e} ^{A})}^{-1}\!$

歪エルミート行列の固有値は 0 か純虚数なので、e^A の固有値の絶対値は 1 になる。

関連項目

• 随伴作用素（エルミート共役、随伴行列）
• 自己共役作用素（エルミート行列）
• 正規作用素（正規行列）
• ユニタリ作用素（ユニタリ行列）
• 交代行列
• 反対称性
• 交換関係 (量子力学)