弱位相 (極位相) 定義

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弱位相 (極位相)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/09 06:15 UTC 版)

定義

双対組 $(X,Y,\langle ,\rangle )$ が与えられたとき、弱位相 $\sigma (X,Y)$ は $X$ 上の最も弱い極位相である。したがって

$(X,\sigma (X,Y))'\simeq Y$

が成り立つ。すなわち、$(X,\sigma (X,Y))$ の連続双対は、同型を除いて $Y$ と等しい。

弱位相は次のように構成される：

$Y$ 内のすべての $y$ に対し、$X$ 上の半ノルム

$p_{y}:X\to \mathbb {R}$

を、次のように定める：

$p_{y}(x):=\vert \langle x,y\rangle \vert \qquad x\in X.$

この半ノルムの族は、$X$ 上の局所凸位相を定義する。