上昇と下降

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/27 14:59 UTC 版)

フレーズ上昇は鎖を「上向きの包含」によって拡張できるケースをいい、下降は鎖を「下向きの包含」によって拡張できるケースをいう。

主要な結果は Cohen-Seidenberg の定理 (Cohen–Seidenberg theorems) であり、これは Irvin S. Cohen（英語版）と Abraham Seidenberg（英語版）によって証明された。これらは上昇定理 (going-up theorem) と下降定理 (going-down theorem) として知られている。

上昇と下降

A⊆B を可換環の拡大とする。

上昇定理と下降定理は B の素イデアルの鎖であってその各メンバーが A の素イデアルのより長い鎖のメンバーの上にあるようなものが A の素イデアルの鎖の長さに拡張できるための十分条件を与える。

Lying over and incomparability

まず、いくつか用語を固定する。とがそれぞれ A と B の素イデアルであって

であれば（は自動的に A の素イデアルであることに注意せよ）、は の下にある ( lies under ) と言いは の上にある ( lies over ) という。一般に、可換環の環拡大 A⊆B が lying over property を満たすとは、A のすべての素イデアル P が B の素イデアル Q の下にあることをいう。

拡大 A⊆B が incomparability property を満たすとは、Q と Q' が A の素イデアル P の上にある B の相異なる素イデアルであるときにはいつでも Q⊈Q' かつ Q' ⊈Q であることをいう。

上昇

環の拡大 A⊆B が上昇性質 (going-up property) を満たす、上昇定理が成り立つとは、

が A の素イデアルの鎖で

(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対してがの上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対してがの上にあるような鎖

に拡張できることをいう。

(Kaplansky 1970) において、拡大 A⊆B が上昇性質を満たせば lying-over property も満たすことが示されている。

下降

環の拡大 A⊆B が下降性質 (going-down property) を満たすとは、

が A の素イデアルの鎖で

(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対してが上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対してがの上にあるような鎖

に拡張できることをいう。

環準同型をもった環の拡大のケースの一般化がある。f : A → B を（単位的）環準同型であって B が f(A) の環拡大であるとする。このとき f が上昇性質 (going-up property) を満たすとは f(A) に対して B において上昇性質が成り立つことである。

同様に、f(A) が環拡大であれば、f が下降性質 (going-down property) を満たすとは下降性質が f(A) に対して B において成り立つということである。

A⊆B のような普通の環の拡大のケースでは、包含写像を考えればよい。

上昇定理と下降定理

上昇定理と下降定理の通常のステートメントは環拡大 A⊆B に言及する：

（上昇） B が A の整拡大であれば上昇定理が成り立ち（したがって lying over property を満たし）、incomparability property を満たす。
（下降） B が A の整拡大で B が整域であり A がその分数体において整閉であれば、（上記に加えて）下降定理も成り立つ。

下降定理には別の十分条件がある。

A⊆B が可換環の平坦拡大（英語版）であれば、下降定理が成り立つ^[1]。

証明^[2]：p₁⊆p₂ を A の素イデアルとし q₂ を B の素イデアルであって q₂ ∩ A = p₂ とする。q₂ に含まれる B の素イデアル q₁ が存在して q₁ ∩ A = p₁ であることを証明したい。A⊆B は環の平坦拡大であるから、A_p₂⊆B_q₂ は環の平坦拡大であることが従う。実は、A_p₂⊆B_q₂ は環の忠実平坦拡大である、なぜならば包含写像 A_p₂ → B_q₂ は局所射だからだ。それゆえ、スペクトルに誘導される写像 Spec(B_q₂) → Spec(A_p₂) は全射であり A_p₂ の素イデアル p₁A_p₂ に contract する B_q₂ の素イデアルが存在する。B_q₂ のこの素イデアルの B への contraction は p₁ に contract する q₂ に含まれる B の素イデアル q₁ である。証明が完了する。 Q.E.D.