出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/08/19 07:49 UTC 版)
ラマヌジャンの和公式 （ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula）はq超幾何級数
1
ψ
1
{\displaystyle {_{1}\psi _{1}}}
[1]
1
ψ
1
[
a
b
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
q
a
z
;
q
)
∞
(
b
a
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
(
b
;
q
)
∞
(
b
a
z
;
q
)
∞
(
q
a
;
q
)
∞
(
|
q
|
<
1
,
|
b
/
a
|
<
|
z
|
<
1
)
{\displaystyle {_{1}\psi _{1}}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}
証明 ラマヌジャンの和公式はq二項定理 から導かれる。
n
{\displaystyle n}
1
(
q
;
q
)
n
=
1
∏
k
=
n
−
1
1
(
1
−
q
1
+
k
)
=
∏
k
=
n
−
1
(
1
−
q
1
+
k
)
=
0
(
−
n
∈
N
)
{\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-q^{1+k})}}}}=\prod _{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad (-n\in \mathbb {N} )}
であるから、q二項定理は
(
a
z
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
=
∑
n
=
0
∞
(
a
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
z
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
z
n
{\displaystyle {\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}
と書ける。
k
{\displaystyle k}
(
a
z
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
q
;
q
)
n
z
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
+
k
(
q
;
q
)
n
+
k
z
n
+
k
=
(
a
;
q
)
k
(
q
;
q
)
k
z
k
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
q
k
;
q
)
n
(
q
1
+
k
;
q
)
n
z
n
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}}z^{n+k}\\&={\frac {(a;q)_{k}}{(q;q)_{k}}}z^{k}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}
であるから
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
q
k
;
q
)
n
(
q
1
+
k
;
q
)
n
z
n
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
k
(
z
;
q
)
∞
(
a
;
q
)
k
z
−
k
=
(
a
z
;
q
)
k
(
a
q
k
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
k
(
z
;
q
)
∞
(
a
;
q
)
k
z
−
k
=
(
a
z
;
q
)
k
(
a
q
k
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
(
a
;
q
)
k
(
q
1
+
k
;
q
)
∞
z
−
k
=
(
a
q
k
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
a
q
k
q
−
k
z
;
q
)
k
(
z
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
;
q
)
∞
(
a
q
k
q
−
k
;
q
)
k
z
−
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}(q^{1+k};q)_{\infty }}}z^{-k}\\&={\frac {(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\\end{aligned}}}
である。
a
q
k
{\displaystyle aq^{k}}
a
{\displaystyle a}
qポッホハマー記号の変換式
(
a
q
−
n
;
q
)
n
=
(
−
a
q
)
n
q
−
n
(
n
−
1
)
/
2
(
q
a
;
q
)
n
{\displaystyle \left(aq^{-n};q\right)_{n}=\left(-{\frac {a}{q}}\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}
により
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
q
1
+
k
;
q
)
n
z
n
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
a
q
−
k
z
;
q
)
k
(
z
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
;
q
)
∞
(
a
q
−
k
;
q
)
k
z
−
k
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
q
a
z
;
q
)
k
(
z
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
;
q
)
∞
(
q
a
;
q
)
k
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
q
a
z
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
a
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
;
q
)
∞
(
q
1
+
k
a
z
;
q
)
∞
(
q
a
;
q
)
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{k}}}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}
となり、
q
1
+
k
{\displaystyle q^{1+k}}
b
{\displaystyle b}
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
(
a
z
;
q
)
∞
(
q
;
q
)
∞
(
q
a
z
;
q
)
∞
(
b
a
;
q
)
∞
(
z
;
q
)
∞
(
b
;
q
)
∞
(
b
a
z
;
q
)
∞
(
q
a
;
q
)
∞
(
b
=
q
k
,
k
∈
N
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (b=q^{k},k\in \mathbb {N} )\\\end{aligned}}}
となる。さて、左辺は
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
∑
n
=
0
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
+
∑
n
=
1
∞
(
a
;
q
)
−
n
(
b
;
q
)
−
n
z
−
n
=
∑
n
=
0
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
+
∑
n
=
1
∞
(
b
q
−
n
;
q
)
n
(
a
q
−
n
;
q
)
n
z
−
n
=
∑
n
=
0
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
+
∑
n
=
1
∞
(
q
b
;
q
)
n
(
q
a
;
q
)
n
(
b
a
z
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(bq^{-n};q)_{n}}{(aq^{-n};q)_{n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {q}{b}};q\right)_{n}}{\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}}\left({\frac {b}{az}}\right)^{n}\\\end{aligned}}}
であるから、
|
q
|
<
1
,
|
z
|
<
1
,
|
b
|
<
|
a
z
|
,
|
b
|
<
1
,
|
a
|
>
|
q
|
{\displaystyle |q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|}
b
{\displaystyle b}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
正則 であり、
b
=
q
k
→
0
{\displaystyle b=q^{k}\to 0}
一致の定理 により大局的にも一致する。
出典
^ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application
関連項目
![{\displaystyle {_{1}\psi _{1}}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa121d6e0785b1ee269b86c59cc1ed4c7ac7dd14)
