モンティ・ホール問題 直感と理論の乖離

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モンティ・ホール問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/14 03:59 UTC 版)

直感と理論の乖離

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった。

ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率はコイントスから生じる確率1/2そのものとなる（それまでの確率 1/3 と 2/3 との選択を止めることになるため）。

ところが、2枚のドアの価値はルール (1) - (4) で確率の高い（価値のある）選択をすることが可能となっている。つまり、『どちらを選んでも変わらない』は誤りである。

以下のように考えると直感でも理解しやすい。

ハズレに色を付ける方法

• ドアの位置は考えなくても良い。
• 最初の選択で発生するのが3パターン（当たりか、ハズレ (青) か、ハズレ (赤)）だと覚えておく。

  最初の選択 / 残りのドアの中身
　　　　　　　（位置は考えなくてよい）
  　　↓　　　　　　　↓ 
A 　当たり　 / ハズレ (青) ・ ハズレ (赤)
 
B ハズレ (青) / 　当たり　 ・ ハズレ (赤)
 
C ハズレ (赤) / 　当たり　 ・ ハズレ (青)

• 　最初の選択で当たりを引けるケースは1つ (A) 、ハズレを引いてしまうケースは2つ (B,C) ある。
• 　2回目の選択ではハズレが1つ除外されているため、当たりを引くケースは2つ (B,C) 。ハズレを引くケースは1つ (A) となる。

ポイント

• 最初に自分がハズレを引いていれば、2回目はドアを変えれば確実に当たりが出る（残りのハズレが除外されているため）。
• 最初に当たりを引いているケースは1つしかないが、ハズレを引いているケースは2つあるので、変えるほうが得である。

ワナ

• 「最初にハズレを引くケースは1つ多い」を忘れていると、2回目の確率が50%に見えてしまうこと。
• 最初にハズレを引くケースは2つあるので、確率は50%ではない。

ドアに印を付ける方法

1. そのドアに景品が入っていることを ○ で示す。
2. ドア A, B, C が ○ である確率は、それぞれ 1/3 である。
3. 「ドア A が ○ である確率」は 1/3 であるが、「B または C が ○ である確率」は 2/3 である。
4. ドア C を開いたあとでも、「B または C が ○ である確率」は 2/3 である。
5. ドア C を開いて、C が ○ ではないと判明したあとでは、「B が ○ である確率」は、「B または Cが ○ である確率」と等しい。その確率は 2/3 である。
6. 「A が ○ である確率」は 1/3 であるが、「B が ○ である確率」は 2/3 である。

最初にハズレのドアを選ぶ方法

1. 当たりのドアを選ぼうとせず、わざとハズレのドアを選ぶ。
2. その後モンティが、もう一つのハズレのドアがどれかを教えてくれるので、残ったドアが当たりのドアである。
3. 当たりのドアがどれか判明したので、最初に選んだハズレのドアから当たりのドアに変更する。

最初にハズレのドアを選ぶことができれば、上記手順で確実に当たりのドアを開けることができる。最初にハズレのドアを選ぶことができる確率は2/3であるので、この手順に従えば（つまりドアを変更すれば）2/3の確率で当たりのドアを開けることができる。

この1.の「当たりのドアを選ぶ」か「ハズレのドアを選ぶ」かは気持ちの問題であり、確率的な影響はまったくないことに注意を要する。3.でドアを変更することへの抵抗感をなくす効果しか持っていない。

よって2.においてモンティが「もう一つのハズレのドアがどれかを教えてくれる」のではなくモンティも当てようとする（モンティが当てたらプレーヤーは自動的に外れる）場合には、1/3の確率で2.でモンティが当ててしまうので、3.にたどり着くのはモンティが2/3の確率で外した場合に限る。この場合3.にたどり着いた時点で残る確率は、変更すると当たる確率1/3（2/3だった確率のうち1/3をモンティが使って（そして外して）しまった）と、変更すると外れる確率1/3とになり、ドアを変更してもしなくても確率は等しいという直感通りの確率になる。

つまり、2.でモンティが2/3の確率のうち1/3を使ってハズレのドアを開けてしまうのではなく、確実に（確率を減らさずに）ハズレのドアを開けることが直感通りにならない要因である。

これを変形させた考え方もできる。

1. 最初プレーヤーが当たりを引く確率は1/3である。
2. ドアを変更しない場合はそのまま1/3の確率である（変更しないのであればモンティがドアを開けようが開けまいが確率は変わらない）。
3. モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアは当たりが確定である。つまり、最初に選択したドアがハズレである確率＝ドアを変更した場合に当たりを引く確率である。
4. 最初の選択で当たりを引く確率は1/3、ハズレを引く確率は2/3である。
5. ゆえに、ドアを変更した場合の当たりを引く確率は2/3と考えられる。

100枚のドアを使う方法

1. ゲームには100枚のドアが使われるとする。プレーヤーが最初のドアを選んだとき、このドアの当たりの確率は1/100である。
2. モンティが残り99枚のドアのうち98枚を開けてヤギを見せる。
3. プレーヤーは2回目の選択をする。

最初にプレーヤーが選んだ1枚のドアと「残り99枚のうちで、正解を知っているモンティが開こうとしなかった、ただ1枚のドア」の確率が相違していることは、直感で理解が可能であろう。

その他の方法

または、こう考えることもできる。

1. プレーヤーは1回目の選択をする。この時点では確率は全て等しい。
2. 番組側は残りのドアをひとまとめにし、どれを開けても結果は共通と宣言する。
3. プレーヤーは2回目の選択をする。

プレーヤーが最初に選択することにより、ひとまとめの対象から（番組側から見てランダムに）外されたドアと、残りすべてのドアでは、価値が等しくないことは明らかである。

また、確率論の基になっている統計の考え方を呼び起こすことで、理解を助けられた実験がある。

パラドックス

この問題はパラドックスであるといわれることがある。最初からドアが1つ開いた状態で、2つのドアから1つを選ぶという問題であったなら、確率は 1/2 である。それに対して、このゲームによってドアが1つ開いた状態になった場合には、確率は 1/3 と 2/3 になる。このように確率が異なることがパラドックスといわれる理由である。

しかし、これは確率の計算に矛盾があるわけではないので、擬似パラドックスである。ドアが2択になった経緯を知っているか知らないかの情報の差がドアの評価に影響しているだけである（単純な話、「最初にプレーヤーがドアを選択する時点での確率」と考えると理解しやすい。なお、１つドアが初めから開いた状態＝単なる2択問題であり、モンティ・ホール問題は成立し得ない）。