Vieta jumpingとは？わかりやすく解説

数論におけるVieta jumping（ヴィエタジャンピング）あるいはroot flippingは、証明方法の一つ。2つの整数の関係と解が与えられた問題に用いられる。特にディオファントス方程式の1つの解から新しい解を作る際に使う。Vieta jumpingには多様なバリエーションが存在しており、大抵は根と係数の関係（ヴィエタの公式）を使用した方程式の解を探すことによる無限降下に関連している。

歴史

Vieta jumpingはディオファントス方程式と同次二次形式（英語版）の論理における基本的な解法である。例えば、1879, 1953年のミルズの論文において、マルコフ方程式の解析に使われている^[1]。

1988年の国際数学オリンピックにおいて、コンテストで最も難解であるとされた問題の解法に使用され、数学の競技で注目されるようになった^[2]^[3]。

a, b

を、

ab + 1

が

a 2 + b 2

を割り切るような2つの正の整数とする。

{\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}

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Vieta jumping

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