幾何学 におけるラウスの定理 （ラウスのていり）とは、三角形 とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。
この定理はエドワード・ラウス が1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。
定理 三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。
C
D
B
D
=
x
{\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x}
A
E
C
E
=
y
{\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}
B
F
A
F
=
z
{\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
y
+
y
+
1
)
(
y
z
+
z
+
1
)
(
z
x
+
x
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}.}
一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形(en )が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これはチェバの定理 の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。
証明 三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対しメネラウスの定理 を適用すると以下の式が得られる。
A
F
F
B
×
B
C
C
D
×
D
R
R
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}
これを変形する。
D
R
R
A
=
B
F
F
A
D
C
C
B
=
z
x
x
+
1
{\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}{\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}
三角形 ARC の面積は以下のように求まる。
S
A
R
C
=
A
R
A
D
S
A
D
C
=
A
R
A
D
D
C
B
C
S
A
B
C
=
x
z
x
+
x
+
1
{\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}{\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}
同様に
S
B
P
A
=
y
x
y
+
y
+
1
{\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}
S
C
Q
B
=
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}
以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。
S
P
Q
R
=
S
A
B
C
−
S
A
R
C
−
S
B
P
A
−
S
C
Q
B
{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}
=
1
−
x
z
x
+
x
+
1
−
y
x
y
+
y
+
1
−
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}
=
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
z
+
x
+
1
)
(
y
x
+
y
+
1
)
(
z
y
+
z
+
1
)
.
{\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}
参考文献 Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
H. S. M. コクセター (1969) Introduction to Geometry , statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
Routh's Theorem ,Weisstein, Eric W . "Routh's Theorem " . MathWorld Routh's Theorem by Cross Products at MathPagesAyoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27. 
