平面三項環

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平面三項環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 01:57 UTC 版)

数学における代数構造 (R, T) が空でない集合 R とその上の三項演算 T: R³ → R の組として与えられるとき、三項系と呼ぶ。Hall (1943) は平面三項環（へいめんさんこうかん、英: planar ternary ring; PTR）または三項体 (Ternärkörper; ternary field) 特別な種類の三項系を座標として用いて射影平面を構成した。平面三項「環」は、加法と乗法の定められる環類似構造を持つが、厳密には必ずしも環ではない。

用語法には広くバリエーションがある。本項に言う平面三項環を文献によっては別の呼び方をするし、また本項の言うものの変種を平面三項環と呼ぶものもある。短く三項環と言うとき、平面三項環の意味で用いる場合もあれば、より一般の（あるいは別の）三項系の意味であるかもしれない。

定義

R は少なくとも相異なる二点（それを 0, 1 と書くことにする）を含む集合とするとき、写像 T: R³ → R との組 (R, T) が（右）平面三項環とは、写像 T が以下の条件

1. $T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad (\forall a,b\in R)$
   平面三項環を確立するための射影平面の座標

   平面三項環 (R, T) が与えられたとき、点集合 P と直線集合 L を以下のように与えて射影平面を構成することができる: （∞ は R に属さない余分の記号であることに注意）

   • $P=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\cup \{(a)\mid a\in R\}\cup \{(\infty )\},$
     x+b

     ax

     射影平面の接続関係 I は以下のように与えられる:

     $((a,b),[c,d])\in I\iff T(a,c,d)=b$