ハルナック曲線定理とは? わかりやすく解説

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ハルナック曲線定理

(Harnack's curve theorem から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/10/10 04:32 UTC 版)

左の(次数3の滑らかな)楕円曲線は、M-曲線であり、成分の個数は最大の2である。一方、右の楕円曲線は、1つしか成分を持たない。

代数幾何学において、カール・アクセル・ハルナック英語版(Carl Gustav Axel Harnack)に因み命名されたハルナック曲線定理 (Harnack's curve theorem) は、代数曲線が持つことのできる連結成分の可能な数を、曲線の次数によって記述する。実射影平面の中の次数 m代数曲線では、成分の数 c は、

の範囲の中にある。最大数は次数 m の曲線の最大種数に 1 を足したもので、曲線が非特異なときに達成される。さらに、この範囲の中の任意の値は、実際に可能である。

トロット曲線英語版は、ここでは7本の二重接線とともに示したが、次数4の M 曲線であり、成分の個数は4次で最大の4である。

実成分の最大数を持つ曲線を(最大 (maximum) の m から)M-曲線(M-curve)と呼ぶ。例えば、 のような、2つの成分を持つ3次の楕円曲線や、4つの成分を持つ4次のトロット曲線英語版は、M-曲線の例である。

この定理はヒルベルトの第16問題英語版の背景をなしている。

最近の発展では、ハルナック曲線は、そのアメーバが(ダイマー模型の特性曲線と呼ばれる)多項式 Pニュートン多面体英語版と同じ面積を持つような曲線であり、さらに、すべてのハルナック曲線はあるダイマー模型のスペクトル曲線となっていることが示された (Mikhalkin 2001) (Kenyon, Okounkov & Sheffield (2006))。

参考文献




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