グラフィカルラッソとは？わかりやすく解説

統計学において、グラフィカルラッソは多変量正規分布に従う観測から精度行列（共分散行列の逆行列）を推定するアルゴリズム。^[1]

問題設定

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ が多変量正規分布 $N(0,\Sigma )$ から得られたとするとき、精度行列 $\Theta =\Sigma ^{-1}$ を推定する。

グラフィカルラッソでは、以下の対数事後確率を最大化するような ${\hat {\Theta }}$ を推定する:

{\hat {\Theta }}={\underset {\Theta \geq 0}{\operatorname {argmax} }}\left(\operatorname {tr} (S\Theta )-\log \det(\Theta )+\lambda \sum _{j\neq k}|\Theta _{jk}|\right)

ただし、 $S$ は標本共分散行列であり、 $\lambda$ は正則化パラメータ^[1]。グラフィカルラッソの拡張として、定常過程としてモデル化できるデータを扱う拡張も提案されている^[2]。

1 2 Friedman, Jerome and Hastie, Trevor and Tibshirani, Robert (2008). “Sparse inverse covariance estimation with the graphical lasso”. Biostatistics (Biometrika Trust).
↑ Alexander Jung, Gabor Hannak and Norbert Goertz "Graphical LASSO based Model Selection for Time Series", IEEE Sig. Proc. Letters, 2015.
↑ Jerome Friedman; Trevor Hastie; Rob Tibshirani (2014). glasso: Graphical lasso- estimation of Gaussian graphical models
↑ Pedregosa, F. and Varoquaux, G. and Gramfort, A. and Michel, V. and Thirion, B. and Grisel, O. and Blondel, M. and Prettenhofer, P. and Weiss, R. and Dubourg, V. and Vanderplas, J. and Passos, A. and Cournapeau, D. and Brucher, M. and Perrot, M. and Duchesnay, E. (2011). “Scikit-learn: Machine Learning in Python”. Journal of Machine Learning Research.