15・290定理

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15・290定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/06 09:06 UTC 版)

数学の分野において、1993年にジョン・H・コンウェイとW・A・シュネーベルガーによって証明された15定理（Conway-Schneeberger Fifteen Theorem）は、整数行列を持つ正定二次形式が15までのすべての正の整数を表す場合、それはすべての正の整数を表すというものである。Manjul Bhargavaがもっと簡単な証明を見つけ、2000年に発表された。

バルガヴァは2005年のSASTRAラマヌジャン賞受賞の折に、ジョナサン・P・ハンケとともに、定数15を290に置き換えた整数2次形式について、同様の定理が成り立つというコンウェイの予想を肯定的に証明したことを発表した。これを290定理と呼ぶ。

しばしば、15定理と290定理をあわせて15・290定理と呼ばれる。

概要

𝑄𝑖𝑗 が実数成分を持つ対称行列、すなわち整対称行列であるとする。整数成分を持つ任意のベクトル𝑥 に対して、以下を定義する。

$Q(x)=x^{t}Qx=\sum _{i,j}x_{i}Q_{ij}x_{j}$