鉤股弦の定理

デジタル大辞泉

こうこげん‐の‐ていり【^×鉤股弦の定理】

読み方：こうこげんのていり

三平方の定理（ピタゴラスの定理）のこと。

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ピタゴラスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/04 14:54 UTC 版)

ピタゴラスの定理

種類	定理
分野	ユークリッド幾何学
命題	2辺 (a, b) 上の2つの正方形の面積の和は、斜辺 (c) 上の正方形の面積に等しくなる。
数式	${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ バビロニア数学について記された粘土板プリンプトン322 「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの伝承が伝えられているが、実際はピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。 判明している最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる[4][5][6][7]。バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。 古代エジプト数学にはピタゴラス数についての記述があり、ナイル川の氾濫のあとで土地を元どおり区割りする際に、直角を取るため 3:4:5の直角三角形が利用された可能性がある[8]。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "Berlin Papyrus 6619（英語版）" には定理に関わる部分が欠けている。 紀元前3世紀に書かれた「ユークリッド原論」の中でピタゴラスの定理に該当するものは、第1巻の47番目の命題である。ここでは、昔から経験則として知られていたこの法則に、幾何学的な証明を与えている。しかし「原論」中ではピタゴラスについて何も言及がなく、この定理にも名前がついていない。 この定理がピタゴラス学派の業績であると述べる現存する最古の文献は、紀元5世紀のプロクロスによる『ユークリッド原論第一巻註解』である。同書の「第47番の命題」に関する記述は、定理の歴史的背景や、ピタゴラス派による研究について言及し、彼らがこの定理の証明をおこなったこと、さらに牡牛を生贄に捧げて祝ったと書く。後世においてこの定理をピタゴラスの業績とする根拠は、プロクロスの注解による[9]。 インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる[10]。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない[11]。 『周髀算経』におけるピタゴラスの定理の証明（中国語: 句股冪合以成弦冪） 中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。 レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を 90度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。 日本での呼称 日本の和算でも、中国での呼称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んでいた[12][13]。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、a2 + b2 = c2 (a < b < c) としたときの a, b, c を表している。 日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。 現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである[14]。 このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。 ピタゴラス数 →詳細は「ピタゴラス数」を参照 3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた[14]。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば 49612 + 64802 = 81612 のようなもの）が出ている。 a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で (a, b, c) の正の整数倍 (ka, kb, kc) で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。 ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、c < 100 で、a < b とすると次の通りである[15]： (a, b, c) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97) ピタゴラス数の性質 →詳細は「ピタゴラス数」を参照 ピタゴラス数 (a, b, c) には、次の性質がある。 a または b は 4 の倍数 a または b は 3 の倍数 a または b または c は 5 の倍数 したがって、積 abc は 60 の倍数である。 自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n が m, n は互いに素 m > n m と n の偶奇が異なる（一方が偶数で他方が奇数） を満たすとして、 (a, b, c) = (m2 − n2, 2mn, m2 + n2) または (2mn, m2 − n2, m2 + n2) であることが必要十分である[16][17]。上記の (m, n) は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。 例えば (m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5) (m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13) (m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17) である。a < b を満たす原始ピタゴラス数を a の昇順に並べた一覧表は以下のようになる[18]。 原始ピタゴラス数の一覧表 # m n a b c 1 2 1 3 4 5 2 3 2 5 12 13 3 4 3 7 24 25 4 4 1 8 15 17 5 5 4 9 40 41 6 6 5 11 60 61 7 6 1 12 35 37 8 7 6 13 84 85 9 8 7 15 112 113 10 8 1 16 63 65 11 9 8 17 144 145 12 10 9 19 180 181 13 5 2 20 21 29 14 10 1 20 99 101 15 11 10 21 220 221 16 12 11 23 264 265 17 12 1 24 143 145 18 13 12 25 312 313 19 14 13 27 364 365 20 7 2 28 45 53 21 14 1 28 195 197 22 15 14 29 420 421 23 16 15 31 480 481 24 16 1 32 255 257 25 7 4 33 56 65 # m n a b c 26 17 16 33 544 545 27 18 17 35 612 613 28 9 2 36 77 85 29 18 1 36 323 325 30 19 18 37 684 685 31 8 5 39 80 89 32 20 19 39 760 761 33 20 1 40 399 401 34 21 20 41 840 841 35 22 21 43 924 925 36 11 2 44 117 125 37 22 1 44 483 485 38 23 22 45 1012 1013 39 24 23 47 1104 1105 40 8 3 48 55 73 41 24 1 48 575 577 42 25 24 49 1200 1201 43 10 7 51 140 149 44 26 25 51 1300 1301 45 13 2 52 165 173 46 26 1 52 675 677 47 27 26 53 1404 1405 48 28 27 55 1512 1513 49 28 1 56 783 785 50 11 8 57 176 185 # m n a b c 51 29 28 57 1624 1625 52 30 29 59 1740 1741 53 10 3 60 91 109 54 15 2 60 221 229 55 30 1 60 899 901 56 31 30 61 1860 1861 57 32 31 63 1984 1985 58 32 1 64 1023 1025 59 9 4 65 72 97 60 33 32 65 2112 2113 61 34 33 67 2244 2245 62 17 2 68 285 293 63 34 1 68 1155 1157 64 13 10 69 260 269 65 35 34 69 2380 2381 66 36 35 71 2520 2521 67 36 1 72 1295 1297 68 37 36 73 2664 2665 69 14 11 75 308 317 70 38 37 75 2812 2813 71 19 2 76 357 365 72 38 1 76 1443 1445 73 39 38 77 2964 2965 74 40 39 79 3120 3121 75 40 1 80 1599 1601 また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab（直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した[19]。 Jesmanowicz 予想 1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した： (a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。方程式： ${\displaystyle (an)^{x}+(bn)^{y}=(cn)^{z}}$ 相似を用いた証明 頂点 C から斜辺 AB に下ろした垂線の足を H とする。△ABC と △ACH は相似である。ゆえに ${\displaystyle {\text{AC}}:{\text{AH}}={\text{AB}}:{\text{AC}}\Longrightarrow {\text{AH}}={{\text{AC}}\times {\text{AC}} \over {\text{AB}}}={b^{2} \over c}}$ 三平方の定理の合同による証明 ${\displaystyle \bigtriangleup }$ 外接円を用いた証明 ∠C = 90° のとき、斜辺AB を直径とする円O を描くことができる。 このとき点C から直径AB に下ろした垂線の足を H とし、△CHO に対して三平方の定理を証明する。OA = OB = OC = c, CH = a, OH = b とする。 △AHC ∽ △BHC なので、 HA : HC = HC : HB (OA − OH) : HC = HC : (OB + OH) (c − b) : a = a : (c + b) c2 − b2 = a2 ∴ a2 + b2 = c2 ◾️ 正方形を用いた証明 正方形を用いた証明 △ABC と合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が a + b の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が c の正方形（以下「小正方形」）ができる。 （大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4 である。大正方形の面積は (a + b)2, 小正方形の面積は c2, 直角三角形1個の面積は ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}$ 正方形を用いた証明の視覚化 正方形を用いた証明2 正方形を用いた証明3 内接円を用いた証明 △ABC において、内接円の半径 r を用いて面積 S を表すと ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}r(a+b+c)}$ ピタゴラスの定理に依存しない証明 △ABC が a2 + b2 = c2 を満たすとする。線分 AB を b2 : a2 に内分する点を D とすると ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AD}}&=c\times {\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}\\&=c\times {\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\&={\frac {b^{2}}{c}}\end{aligned}}}$ ピタゴラスの定理を用いた証明 B'C' = a, A'C' = b，∠C' = π/2 である直角三角形 A'B'C' において、A'B' = c' とすれば、ピタゴラスの定理より ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c'\,^{2}}$ 余弦定理を用いた証明 ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, C = ∠ACB とおくと、余弦定理より ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$ ウィキメディア・コモンズには、ピタゴラスの定理に関連するカテゴリがあります。 プロジェクト 数学 計量テンソル 算数チャチャチャ ピタゴラス プリンプトン322 ユークリッド原論 フェルマーの最終定理 ピタゴラス三体問題 外部リンク 百科事典マイペディア『ピタゴラスの定理』 - コトバンク 日本大百科全書『三平方の定理』 - コトバンク Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". mathworld.wolfram.com (英語). 典拠管理データベース: 国立図書館 スペイン フランス BnF data ドイツ イスラエル アメリカ 日本 三角法 概要（英語版） 歴史（英語版） 使用（英語版） 関数 逆 一般三角法（英語版） Reference 公式 正確な定数（英語版） 表（英語版） 単位円 定理 正弦 余弦 正接 余接 ピタゴラスの定理 微分積分学 三角関数の代入（英語版） 積分 逆関数 微分（英語版） 表 話 編 歴 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳 英語⇒日本語日本語⇒英語    >> 「鉤股弦の定理」を含む用語の索引  鉤股弦の定理のページへのリンク 辞書ショートカット 1 デジタル大辞泉 2 ウィキペディア カテゴリ一覧 全て ＋ ビジネス ＋ 業界用語 ＋ コンピュータ ＋ 電車 ＋ 自動車・バイク ＋ 船 ＋ 工学 ＋ 建築・不動産 ＋ 学問 ＋ 文化 ＋ 生活 ＋ ヘルスケア ＋ 趣味 ＋ スポーツ ＋ 生物 ＋ 食品 ＋ 人名 ＋ 方言 ＋ 辞書・百科事典 すべての辞書の索引 あいうえお かきくけこ さしすせそ たちつてと なにぬねの はひふへほ まみむめも やゆよ らりるれろ わをん がぎぐげご ざじずぜぞ だぢづでど ばびぶべぼ ぱぴぷぺぽ ＡＢＣＤＥ ＦＧＨＩＪ ＫＬＭＮＯ ＰＱＲＳＴ ＵＶＷＸＹ Ｚ １２３４５ ６７８９０ 記号 Weblioのサービス 英会話コラム Weblio英会話 英語の質問箱 語彙力診断 スピーキングテスト 「鉤股弦の定理」の関連用語 1 ピタゴラスの定理 百科事典 6% ||||| 鉤股弦の定理のお隣キーワード 鉤状突起 (肋骨) 鉤状雲 鉤笥 鉤素 鉤縄 鉤股弦 鉤股弦の定理 鉤葛 鉤虫 鉤虫感染症 鉤虫症 鉤行 鉤衽 検索ランキング 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳     英語⇒日本語 日本語⇒英語     鉤股弦の定理のページの著作権 Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。     (C)Shogakukan Inc. 株式会社 小学館 All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License. この記事は、ウィキペディアのピタゴラスの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。 ビジネス｜業界用語｜コンピュータ｜電車｜自動車・バイク｜船｜工学｜建築・不動産｜学問 文化｜生活｜ヘルスケア｜趣味｜スポーツ｜生物｜食品｜人名｜方言｜辞書・百科事典 ご利用にあたって ・Weblio辞書とは ・検索の仕方 ・ヘルプ ・利用規約 ・プライバシーポリシー ・サイトマップ 便利な機能 ・ウェブリオのアプリ ・画像から探す お問合せ・ご要望 ・お問い合わせ 会社概要 ・公式企業ページ ・会社情報 ・採用情報 ウェブリオのサービス ・Weblio 辞書 ・類語・対義語辞典 ・英和辞典・和英辞典 ・Weblio翻訳 ・日中中日辞典 ・日韓韓日辞典 ・フランス語辞典 ・インドネシア語辞典 ・タイ語辞典 ・ベトナム語辞典 ・古語辞典 ©2025 GRAS Group, Inc.RSS      ログイン ※半角英数字、6文字以上、32文字以内で入力してください ログイン パスワードを忘れた方はこちらから 別サービスのアカウントで登録・ログイン アカウントをお持ちでない方 新規会員登録（無料）