正八十五角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/25 06:17 UTC 版)
正八十五角形においては、中心角と外角は4.235…°で、内角は175.764…°となる。一辺の長さが a の正八十五角形の面積 S は S = 85 4 a 2 cot π 85 ≃ 574.68541 a 2 {\displaystyle S={\frac {85}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{85}}\simeq 574.68541a^{2}} cos ( 2 π / 85 ) {\displaystyle \cos(2\pi /85)} を有理数と平方根で表すことが可能である。 cos 2 π 85 = cos ( π 5 − 3 π 17 ) = cos π 5 cos 3 π 17 + sin π 5 sin 3 π 17 = 5 + 1 4 cos 3 π 17 + 1 4 10 − 2 3 sin 3 π 17 = 5 + 1 4 ⋅ 1 16 ( + 1 + 17 + 34 + 68 + 68 − 2448 − 2720 − 6284288 ) + 1 4 10 − 2 5 ⋅ 1 8 ( 34 + 68 − 136 + 1088 − 272 − 39168 + 43520 − 1608777728 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{85}}=&\cos \left({\frac {\pi }{5}}-{\frac {3\pi }{17}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{5}}\cos {\frac {3\pi }{17}}+\sin {\frac {\pi }{5}}\sin {\frac {3\pi }{17}}\\=&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\cos {\frac {3\pi }{17}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {3}}}}\sin {\frac {3\pi }{17}}\\=&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\cdot {\frac {1}{16}}\left(+1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}\right)\\&+{\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}\right)\end{aligned}}}
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