南極定理
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南極定理（なんきょくていり、独: Südpolsatz）は、三角形に関する幾何学の定理である。その主張は、三辺の長さが相異なる三角形において、ある一辺の垂直二等分線と、その辺に対向する角の二等分線は、外接円上で交わるというものである。この交点は南極とも呼ばれる。対応する外角の二等分線もまた、垂直二等分線と外接円上で交わる。この交点を（南極とは逆に）北極とも呼ぶ。これら二つの命題をあわせて拡張南極定理と呼ぶ。
命題
導入部の記述では、二等辺三角形と正三角形の場合を除外している。垂直二等分線と角の二等分線が同一になり、交点が存在しないケースがありうるからである。これらのケースは、以下のように定式化してまとめることができる。
- 任意の三角形において、内角の二等分線および外角の二等分線はそれぞれ、その内角の対辺の垂直二等分線と外接円の二つある交点のうちどちらか一つを通る。
証明
- 垂直二等分線を
ウィキメディア・コモンズには、南極定理に関連するカテゴリがあります。
- Lucas Mann: Skript zum MSG-Zirkel. mathematische Schülergesellschaft Leonard Euler の講義ノート, P. 51, 練習問題 5.16 (ドイツ語)
- Dörte Haftendorn: Südpolsatz (アーカイブ – 図と証明 (pdf, ドイツ語)
- Walter Fendt: Der Südpolsatz (ビジュアライザー, ドイツ語)
- Grundlagen - Südpolsatz Mathematik macht Freu(n)de (ウィーン大学, ドイツ語)
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