ヒルベルト多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/10 09:59 UTC 版)
数学において、ヒルベルト多様体（ヒルベルトたようたい、Hilbert manifold）とは、ヒルベルト空間をモデルとした多様体である。したがって、それは可分ハウスドルフ空間であり、各点が無限次元ヒルベルト空間に同相な近傍を持つ。ヒルベルト多様体の概念は、多様体の理論を無限次元の設定に拡張する可能性を提供する。有限次元の場合と同様に、遷移写像が微分可能である最大アトラスを考慮することで、微分可能なヒルベルト多様体を定義することができる。
特性
多様体理論の基本的な構成の多く、例えば多様体の接空間や部分多様体（有限余次元）の管状近傍などは、有限次元の場合からヒルベルト設定にほとんど変更なく引き継がれる。しかし、多様体間の写像を含む命題では、しばしばフレドホルム写像、すなわち各点での微分がフレドホルムである写像に考慮を制限しなければならない。この理由は、サードの補題がフレドホルム写像に対して成り立つが、一般には成り立たないためである。この違いにもかかわらず、ヒルベルト多様体は非常に良い性質をいくつか持っている。
- カイパーの定理: もし
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