スレーター積分 (英 : Slater integral )とは数学または数理物理学 において用いられる、三つの球面調和関数 積の積分である。三次元の回転変換した単位球面上の関数の正規直交基底 関数を用いるときに現れる積分である。このような積分は球対称性をもつ原子の物性計算を行うときによく用いられる。数学的ないくつかの性質により、これらの積分は下記のように定義される。
定義
原子構造の量子論 とこの積分の関係についてジョン・クラーク・スレイター は3つの球面調和関数の積の積分を係数cとして定義した。[1] この係数はウィグナーの3jm記号
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
=
∫
d
2
Ω
Y
ℓ
m
(
Ω
)
∗
Y
ℓ
′
m
′
(
Ω
)
Y
k
m
−
m
′
(
Ω
)
{\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}
この積分はクーロン演算子 と交換演算子 が必要となる、原子のハートリー-フォック方程式 の計算に必要である。
二つの球面調和関数の積はこの積分によって書くことができる。
Y
ℓ
m
Y
ℓ
′
m
′
=
∑
ℓ
″
A
^
ℓ
″
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
,
)
Y
ℓ
″
m
+
m
′
,
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}
∫
Y
ℓ
m
Y
ℓ
′
m
′
Y
L
−
M
d
2
Ω
=
(
−
1
)
m
+
m
′
A
^
L
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
=
(
−
1
)
m
c
L
(
ℓ
,
−
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
.
{\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',m').}
Y
ℓ
m
Y
ℓ
′
m
′
=
∑
ℓ
″
(
−
1
)
m
′
c
ℓ
″
(
ℓ
,
−
m
,
ℓ
′
,
m
′
,
)
Y
ℓ
″
m
+
m
′
,
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}
恒等式
この積分は次のような[恒等式]をもつ
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
=
c
k
(
ℓ
,
−
m
,
ℓ
′
,
−
m
′
)
=
(
−
1
)
m
−
m
′
c
k
(
ℓ
′
,
m
′
,
ℓ
,
m
)
=
(
−
1
)
m
−
m
′
2
ℓ
+
1
2
k
+
1
c
ℓ
(
ℓ
′
,
m
′
,
k
,
m
′
−
m
)
=
(
−
1
)
m
′
2
ℓ
′
+
1
2
k
+
1
c
ℓ
′
(
k
,
m
−
m
′
,
ℓ
,
m
)
.
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
,
m
)
=
(
2
ℓ
+
1
)
δ
k
,
0
.
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
∑
m
′
=
−
ℓ
′
ℓ
′
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
2
=
(
2
ℓ
+
1
)
(
2
ℓ
′
+
1
)
⋅
c
k
(
ℓ
,
0
,
ℓ
′
,
0
)
.
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
2
=
2
ℓ
+
1
2
ℓ
′
+
1
⋅
c
k
(
ℓ
,
0
,
ℓ
′
,
0
)
.
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
′
,
m
′
)
c
k
(
ℓ
,
m
,
ℓ
~
,
m
′
)
=
δ
ℓ
′
,
ℓ
~
⋅
2
ℓ
+
1
2
ℓ
′
+
1
⋅
c
k
(
ℓ
,
0
,
ℓ
′
,
0
)
.
∑
m
c
k
(
ℓ
,
m
+
r
,
ℓ
′
,
m
)
c
k
(
ℓ
,
m
+
r
,
ℓ
~
,
m
)
=
δ
ℓ
,
ℓ
~
⋅
(
2
ℓ
+
1
)
(
2
ℓ
′
+
1
)
2
k
+
1
⋅
c
k
(
ℓ
,
0
,
ℓ
′
,
0
)
.
∑
m
c
k
(
ℓ
,
m
+
r
,
ℓ
′
,
m
)
c
q
(
ℓ
,
m
+
r
,
ℓ
′
,
m
)
=
δ
k
,
q
⋅
(
2
ℓ
+
1
)
(
2
ℓ
′
+
1
)
2
k
+
1
⋅
c
k
(
ℓ
,
0
,
ℓ
′
,
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}
配位子場理論におけるスレーター積分
配位子場理論 において、次の値をスレーター積分 (またはスレーター-コンドンのパラメータ) という。[2]
F
k
(
d
,
d
)
=
∫
0
∞
r
1
2
d
r
1
∫
0
∞
r
2
2
d
r
2
R
32
2
(
r
1
)
R
32
2
(
r
2
)
r
<
k
r
>
k
+
1
{\displaystyle F^{k}(d,d)=\int _{0}^{\infty }r_{1}^{2}dr_{1}\int _{0}^{\infty }r_{2}^{2}dr_{2}R_{32}^{2}(r_{1})R_{32}^{2}(r_{2}){\frac {r_{<}^{k}}{r_{>}^{k+1}}}}
ここで
R
n
l
(
r
)
{\displaystyle R_{nl}(r)}
は波動関数 の動径部分である。
また次の
F
k
{\displaystyle F_{k}}
もスレーター積分という。コンドン-ショートレーパラメータ とも呼ばれる。
F
0
=
F
0
{\displaystyle F_{0}=F^{0}}
F
2
=
1
49
F
2
{\displaystyle F_{2}={\frac {1}{49}}F^{2}}
F
4
=
1
441
F
4
{\displaystyle F_{4}={\frac {1}{441}}F^{4}}
ラカー(Racah)は原子スペクトルの理論で次のラカーパラメーター A 、B 、C を導入した。
A
=
F
0
−
49
F
4
{\displaystyle A=F_{0}-49F_{4}}
B
=
F
2
−
5
F
4
{\displaystyle B=F_{2}-5F_{4}}
C
=
35
F
4
{\displaystyle C=35F_{4}}
参考文献
^ John C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I
^ 上村洸、菅野暁、田辺行人 『配位子場理論とその応用』裳華房 、1969年。ISBN 978-4-7853-2404-9 。