圏 (数学) 諸定義

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圏 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 16:22 UTC 版)

諸定義

以下では特に断らない限り C を圏、X や Y をその対象、その間の射を ƒ : X → Y とする。Weibel (1994, A.1 Categories)参照。

圏の構成法

• 双対圏 C^op - obj(C^op) = obj(C), Hom_C^op(X, Y) = Hom_C(Y, X) である圏 C^op
• 部分圏 D - obj(D) ⊂ obj(C) であって、任意の対象 X, Y ∈ D に対して Hom_D(X, Y) ⊂ Hom_C(X, Y) となる圏 D
• 充満部分圏 D - 圏 C の部分圏であって、任意の対象 X, Y ∈ D に対して Hom_D(X, Y) = Hom_C(X, Y) となる圏 D

対象の種類

• 始対象 I - 任意の対象 Y に対して #Hom_C(I, Y) = 1 である対象 I
• 終対象 T - 任意の対象 X に対して #Hom_C(X, T) = 1 である対象 T
• 零対象 0 - 始対象かつ終対象である対象0

射の種類

• 単射 ƒ : X → Y - 任意の対象 Z と射 g, h : Z → X に対して g ≠ h ⇒ ƒg ≠ ƒh である射 ƒ
• 全射 ƒ : X → Y - 任意の対象 Z と射 g, h : Y → Z に対して g ≠ h ⇒ gƒ ≠ hƒ である射 ƒ
• 全単射 ƒ : X → Y - 単射かつ全射である射 ƒ
• 同型射 ƒ : X → Y - gƒ = id_X かつ ƒg = id_Y となる射 g : Y → X がある射 ƒ
• 逆射 ƒ⁻¹ : Y → X - 同型射の定義における射 g

以下では圏 C は零対象0をもつとする。

• 零射 0 : X → Y - 射 X → 0 と 0 → Y の合成
• 核 i : W → X - より正確には、射 f : X → Y の核とは ƒi = 0 であって、ƒu = 0 を満たす任意の射 u : U → X に対して u = i v となる射 v : U → W が一意に存在する射 i
• 余核 p : Y → Z - より正確には、射 f : X → Y の余核とは pƒ = 0 であって、uƒ = 0 を満たす任意の射 u : Y → U に対して u = v p となる射 v : Z → U が一意に存在する射 p