四次函数 四次方程式との関係

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四次函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/12 02:30 UTC 版)

四次方程式との関係

四次関数の根は代数的な表示を持つ。四次函数の根の表示を求める方法については四次方程式の項を参照。

四次関数がより低次の多項式に何らかの意味で帰着できるならば、その性質の理解は幾分容易になる。四次函数

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

が例えば、因数分解されているとか、適当な変数変換で低次の方程式になる場合などが典型である。因数定理によれば、方程式 Q(x) = 0 を解いて零点を知れば因数分解をすることができるし、四次方程式におけるフェラリの解法などは分解方程式と呼ばれる低次の方程式に帰着する方法を取っている。

例えば、四次の準相反方程式

$a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0$

は x² で両辺を割って、変数変換 z = x + m/x を行えば、z の二次方程式となるから、それを解いてもとへ返せば因数分解ができる。