単関数 ルベーグ積分との関係

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単関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 08:59 UTC 版)

ルベーグ積分との関係

どのような非負の可測関数 $f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}$ であっても、単調増加な非負の単関数の列の各点収束の極限として与えられる。実際、$f$ を測度空間 $(X,\Sigma ,\mu )$ 上定義される、上述のような非負可測関数とする。各 $n\in \mathbb {N}$ に対し、$f$ の値域を、$2^{2n}+1$ 個の区間で、その内の $2^{2n}$ 個が長さ $2^{-n}$ を持つようなものに区分する。すなわち、各 $n$ に対して、

$I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)$ for $k=1,2,\ldots ,2^{2n}$

および

$I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )$

を定める（固定された $n$ に対して、各集合 $I_{n,k}$ は互いに素であり、実数直線の非負の部分を覆うことに注意されたい）。

今、可測集合

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,$ for $k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1$

を定義する。このとき、単関数の増加列

$f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}$

は、$n\to \infty$ としたとき、$f$ へと各点収束する。$f$ が有界であるなら、その収束は一様であることに注意されたい。（簡単に積分可能である）単関数によるこのような $f$ の近似によって、積分 $f$ を定義することが出来る。より詳細な議論は、記事「ルベーグ積分」を参照されたい。