単射的対象 単射的対象の概要

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単射的対象

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 16:28 UTC 版)

定義

Q が H 単射的とは，H における射 A → B が与えられたとき，任意の A → Q が B → Q に拡張することをいう．

${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ を圏とし ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ を ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の射のあるクラスとする．

${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 Q が ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-単射的とは，${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ の任意の射 f: A → Q と任意の射 h: A → B に対して，ある射 g: B → Q が存在して f （の始域）を拡張する，すなわち ${\displaystyle g\circ h=f}$ となることをいう．

上の定義における射 g は h と f によって一意的に決定されることは要求されない．

局所的に小さい圏では，それはhom関手 ${\displaystyle Hom_{\mathfrak {C}}(-,Q)}$ が ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-射を全射に送ることと同値である．

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる．

アーベル圏の場合

アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）．${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ がアーベル圏のとき，${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 A が単射的であるとは，hom関手 Hom_C(–,A) が完全であることをいう．

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

を ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ における完全列であって A が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し，B が単射的であることと C が単射的であることは同値である^[1]．