体上有限生成環の理論

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/30 06:32 UTC 版)

ネーターの正規化補題

可換環 R を部分環として含む（可換）環 A の元 a₁ , ... , a_m が R 上代数的独立であるとは、変数 x_i に a_i を代入する操作で得られる準同型 R[x₁ , ... , x_m] → A が単射であることを言う。

定理

A を体 k 上有限生成な環とするとき、k 上代数的独立な A の元 a₁ , ... , a_m が存在して、A はその部分環 k[a₁ , ... , a_m] 上整である。更に、I が A の高さが 1 のイデアルであれば、a₁ ∈ I かつ I ∩ k[a₁ , ... , a_m] = (a₁) とできる。

証明の概略

A を k[x₁ , ... , x_n] の剰余環として表し、A における x_i の像を y_iとする。k[x₁ , ... , x_n] → A が単射であれば定理の主張は自明。したがって準同型の核 I が0でないと仮定し、n が減少する帰納法で証明する。z_i (i=2, 3, ... , n) を、自然数 r_i を使って

z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r_{i}}

で定めると、I に属する多項式 f があって f(y₁ , ... , y_n)=0 なので、特に

f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r_{2}},\ldots ,z_{n}+y_{1}^{r_{n}})=0

を得る。r_i を $0\ll r_{2}\ll \ldots \ll r_{n}$ ととれば、この関係式は

\alpha \cdot y_{1}^{N}+

（y₁, z₂, ... , z_n について N 次未満の項）= 0　( α ∈ k )

となるが、これは、y₁ が A の部分環 k[z₂ , ... , z_n] 上整であることを示す。同じ議論を繰り返せば高々 n 回までの操作で定理の前半が示された。後半については、g ∈ I ∩ k[a₁ , ... , a_m] を取り、前半と同様 $b_{i}=a_{i}-a_{1}^{s_{i}}$ なる置き換えを上手く取ると、

\beta \cdot a_{1}^{M}+

（a₁, b₂, ... , b_m について M 次未満の項）- g = 0　( β ∈ k )

とできる。従って、k[a₁ , ... , a_m] は部分多項式環 k[g , b₂... , b_m] 上整。よって、整拡大の推移性より、A は k[g , b₂... , b_m] 上整になる。(g) ⊂ I ∩ k[g , b₂... , b_m] は明らかであるが、(g) は k[g , b₂... , b_m] の高さが 1 以上の素イデアルである一方で、下降定理 (going-down theorem) （整拡大参照）によって、I ∩ k[g , b₂... , b_m] の高さは 1 なので、高さの定義より (g) = I ∩ k[g , b₂... , b_m]とならなければならない。

注釈

任意の有限生成環は定義によって多項式環の剰余環としてかける。これはアフィン代数多様体をアフィン空間 $\mathbb {A} _{k}^{n}$ の閉部分集合としてとらえる考え方に対応している。一方、ネターの正規化定理は、アフィン代数多様体 V をアフィン空間 $\mathbb {A} _{k}^{m}$ の分岐被覆空間としてとらえる、すなわち、全射な有限射 V → $\mathbb {A} _{k}^{m}$ でとらえる考え方に対応する。
Aを体上有限生成整域とし、K をその商体とする。もし、体 k の標数が 0 であれば、体の拡大 K / k(a₁ , ... , a_m) は有限次拡大なので単拡大である、すなわち、K = k(a₁ , ... , a_m)[t]/( f(a₁ , ... , a_m , t) ) となる。従って、f の分母を払えば、K は有限生成環 k[a₁ , ... , a_m+1]/(f) の商体として表せる。これは、A に対応するアフィン代数多様体 V は、アフィン空間 $\mathbb {A} _{k}^{m+1}$ の中で f = 0 で定義される超曲面と双有理同値になることを意味している。k が正標数の体の場合も、部分環 k[a₁ , ... , a_m] をうまくとって体の拡大 K / k(a₁ , ... , a_m)　が分離的であるようにとれるので、同様の議論で、任意の代数多様体が超曲面と双有理同値になることが証明できる。

体上有限生成環の次元

定理

A を体 k 上有限生成な整域とするとき、A のクルル次元はその商体の k 上の超越次数と等しい。とくに、A の極大イデアル m をとると、体 A / m は k の代数拡大体である。

証明の概略

より強くA の素イデアルの列

0=P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq P_{2}\subsetneq ...\subsetneq P_{r}

で、P_r は極大イデアルであり、P_i と P_i+1 の間には素イデアルが存在しないようなもの（飽和した素イデアル列）を取ると、r が A の商体の超越次数と一致することを示す。正規化補題によれば、A は多項式環と同型なその部分環 k[a₁ , ... , a_m] 上整であり、m は A の商体の k 上の超越次数と一致する。r の帰納法で示す。r = 0 ならば A は体であるので、k[a₁ , ... , a_m]も体になり（整拡大参照）m = 0 = r となる。 m > 1 の時は、正規化補題の後半により、帰納法の仮定を A/P₁ と k[a₂ , ... , a_m] に適用すれば、定理の前半を得る。後半は、A / m のクルル次元は 0 であることを前半に適用して、A / m の k 上の超越次数が0であることから従う。

注釈

超越次元は、体 k 上、代数的に独立な変数の数であるので、体上有限生成整域の次元をその商体の k 上の超越次元と定義するのは自然である。これが、一般のネーター環に対して定義されるクルル次元と一致するというこの定理は、クルル次元の定義の妥当性を主張している。クルル次元は代数多様体（あるいはネータースキーム）の組み合わせ次元（ネーター次元）に一致しており、代数閉体上の代数多様体の滑らかな点での接空間の次元にも一致する（代数多様体#接空間と滑らかさ参照）。
定理の証明で示されていることは、体上有限生成整域では飽和した素イデアル列の長さが常に一定であることを主張している。このような性質の成り立つ環のことを鎖状環 (catenary ring) と呼ぶ。鎖状環 A ではその素イデアル P に対して
$\dim A=\dim(A/P)+{\mbox{ht }}P$
が成り立つ（ここで dim はクルル次元、ht は高さを表す）。重要なネーター環の多くは鎖状環になるが、鎖状環にならないネーター環の例が永田雅宜によって知られている。