フレアーホモロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/28 08:33 UTC 版)
シンプレクティック場の理論 (SFT)
シンプレクティック場の理論（SFTと略す）は、接触多様体とそれらの間のシンプレクティックコボルディズムで、元はヤコフ・エリアシュバーグ, アレクサンダー・ギベンタールとヘルムート･ホーファーによっている. このシンプレクティック場の理論は、部分複体、有理的シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーからなり、微分代数のホモロジーとして定義され、選ばれた接触形式レーブベクトル場の閉じたレーブ軌道により生成されます。微分（写像）は、接触多様体の上の円筒の中にあのある正則曲線の数を数える。そこでの自明な例は、閉じたレーブ軌道の上の（自明）な円筒の分岐被覆となっている。さらにこれは、円筒形、あるいは線型接触ホモロジーと呼ばれる線型ホモロジーを意味している(時々、記号の混乱ですが、単に接触ホモロジーとも言われる)。このチェーン群は閉じた軌道により生成されたベクトル空間で、微分（写像）は正則な円筒のみを数える。しかし、円筒形接触ホモロジーは、正則ディスクの存在のためにいつも定義されるとは限らない。円筒形接触ホモロジーが意味を持つような状況下では、ループをループ上のアルファ（交叉）を作る自由ループ空間の上の作用汎函数の（少し変形した）｢モースホモロジー」としてみなすことができるかもしれなし。レーブの軌道は、この汎函数の臨界点である。
SFT は、相対接触ホモロジーとして知られる接触多様体のルジャンドル部分多様体の相対不変量も導く。SFT の生成子はレーブコードで、レーブコードとはラグランジアン上に始点と終点を持つレーブベクトル場の軌跡のことで、その微分は与えられたレーブコードに近似する終点を持つ接触多様体のシンプレクティック化である正則な帯状領域の数を数える。
SFT では、接触多様体はシンプレクティック写像をもつシンプレクティック多様体の写像トーラスに置き換えることができます。円筒形接触ホモロジーはうまく定義でき、シンプレクティック写像のべきのシンプレクティックフレアーホモロジーによって与えられるが、（有理）シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーは、一般化されたシンプレクティックフレアーホモロジーと考えることができる。しかし、シンプレクティック写像が時間依存のハミルトニアンの時間が一定という重要な場合では、これらの高次の不変量はこれ以上の情報をもってはいないことが示されている。
- ^ コボルディズムのパンツ分解の積のことであり、位相的場の理論の公理的な取り扱いで重要な役割を果たします
- ^ サイバーグ・ウィッテン・ゲージ理論
- ^ コーシー-リーマン方程式と擬正則曲線の定義式との関係は、古典的擬正則曲線のコーシー-リーマンの方程式との類似(Analogy with the classical Cauchy-Riemann equations)に、擬正則曲線の記載がある。
- ^ 英語版では、"Floer Homology"にリンクが張られてるが記載がないので、記載のある文献を上げる。
- ^ 2次元平面上へ結び目を射影して、平面の上で格子を描き、格子との交点に符号を与えて、結び目不変量を求める組み合わせ的手法のこと
- ^ クラスタホモロジーとは、ディスクが非局所的に余次元1でバブルになるので、代数的にモデリングすることが困難になる点を、モースフローを次のように拡張することで、克服する方法です。擬正則ディスクのモジュライ空間をラグランジュ部分多様体の上のモース函数を、負のグラジエントフローまで拡張すると、クラスタ化されたモジュライ空間ができます。これらをコンパクト化すると、次数付きの可換微分代数ができ、このホモロジーがクラスタホモロジーと呼ばれている。
- ^ ゲージ理論。
- ^ DG-圏は、Differentail Graded Categoryの訳語である。
- ^ コンパクト化(compactification)の意味は、数学と物理（弦理論）では異なっている。ここでは、数学側の意味へリンクをはっている。物理側（特に弦理論）はコンパクト化 (物理学)である。
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