SIRモデルの厳密な解析解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「SIRモデルの厳密な解析解」の解説
2014年は、Harkoと共著者らは、SIRモデルの厳密な解析解を導出した。人口動態が設定されていない場合、 S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)} などは、 t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},} に関して、次のような時間パラメータ化に対応する。 S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u} I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)} R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)} 初期条件は t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }}} であり、 u T {\displaystyle u_{T}} は I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0} を満たす。 上述した R ∞ {\displaystyle R_{\infty }} に関する超越方程式によって、 u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)} if S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)} および I ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0} となる。 Millerによって見出された等価な解析解により S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}} が得られる。 ここで、 ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)} は、個人が時刻 t {\displaystyle t} までに受け取った伝染の期待値と解釈することができる。これらの2つの解は e − ξ ( t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u} でつながっている。 事実上、同じ結果はカーマックとマッケンドリックの最初の論文にも見出すことができる。 これらの解は、元の微分方程式の右辺のすべての項が I {\displaystyle I} に比例していることに注意すれば、簡単に理解できるかもしれない。したがって、方程式を I {\displaystyle I} で割って、左辺の微分演算子が単純に d / d τ {\displaystyle d/d\tau } （ d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt} 、すなわち τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt} ）になるように、時間を再スケーリングすることができる。これで微分方程式はすべて線形となり、 d R / d τ = {\displaystyle dR/d\tau =} 定数の形式の第3の方程式は、 τ {\displaystyle \tau } と R {\displaystyle R} （および上記の ξ {\displaystyle \xi } ）が単純に線形に関係していることを示している。
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