稠密に定義された作用素
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数学の、特に作用素論の分野における稠密に定義された作用素（ちゅうみつにていぎされたさようそ、英語: densely defined operator）とは、部分的に定義されたある種の関数のことで、位相的な意味では「ほとんど至る所」定義された線形作用素のことである。稠密に定義された作用素は、関数解析学の分野において、先天的に「意味を持つ」ような対象よりもより広いクラスへと応用されるような作用素として登場する。
- 1 稠密に定義された作用素とは
- 2 稠密に定義された作用素の概要
稠密に定義された作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「稠密に定義された作用素」の解説
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。 定義 (稠密に定義された作用素) ― H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} をヒルベルト空間とする。 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の部分集合Dom(T)で定義された線形作用素 T : D o m ( T ) → H 2 {\displaystyle T~:~\mathrm {Dom} (T)\to {\mathcal {H}}_{2}} が H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} で稠密に定義されているとは、Dom(T)が H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の稠密部分集合である事をいい新井(p71)、以下のように書き表す。 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} （稠密に定義されている） 紛れがなければ H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 上稠密に定義された作用素を単に T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} と書く 特に D o m ( T ) = H 1 {\displaystyle \mathrm {Dom} (T)={\mathcal {H}}_{1}} が成立しているとき、Tは H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の全域で定義されているという。 稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる： 定義 (稠密に定義された線形作用素の拡大) ― 稠密に定義された２つの線形作用素 S , T : H 1 → H 2 {\displaystyle S,T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が、 Dom(S) ⊂ Dom(T) かつT|Dom(S) = Sを満たすとき、TはSの拡大であるといい、以下のように書き表す： S ⊂ T 有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている： 定理 (BLT定理) ― 稠密に定義された作用素 Tがその定義域において有界な線形作用素であれば、Tを全域に一意に拡張可能である。すなわち、全域で定義された T ¯ : H 1 → H 2 {\displaystyle {\bar {T}}~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が一意に存在し、 T ¯ | D o m ( T ) = T {\displaystyle {\bar {T}}|_{\mathrm {Dom} (T)}=T} である新井(p71) したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
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