無限和と積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 23:01 UTC 版)
モレラの定理は、フビニの定理やワイエルシュトラスのM判定法と組み合わせることで、和や積分によって定義される函数の解析性を示すために利用することが出来る。例えばリーマンゼータ函数 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} やガンマ函数 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx} を考える。任意の適切な閉曲線 C に対し、 ∮ C Γ ( α ) d α = 0 {\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0} が示される。実際、 ∮ C Γ ( α ) d α = ∮ C ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x d α {\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha } と記述すると、積分の順序交換にフビニの定理を用いることが出来、 ∫ 0 ∞ ∮ C x α − 1 e − x d α d x = ∫ 0 ∞ e − x ∮ C x α − 1 d α d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx} が得られる。すると x ↦ xα−1 の解析性から ∮ C x α − 1 d α = 0 {\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0} となり、したがって上述の二重積分は 0 であることが示される。ゼータ函数の場合、M判定法によって閉曲線に沿った積分と直和の順序交換を行うことが出来、同様の結果が得られる。
※この「無限和と積分」の解説は、「モレラの定理」の解説の一部です。
「無限和と積分」を含む「モレラの定理」の記事については、「モレラの定理」の概要を参照ください。
- 無限和と積分のページへのリンク
