極限と余極限について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/09 05:13 UTC 版)
環の圏 Ring は完備かつ余完備、すなわち任意の小さい極限および余極限が Ring 内に存在する。他の多くの代数圏同様に、忘却函手 U: Ring → Set は極限およびフィルター余極限（英語版）を創出（および保存）するが、余積や余等化子は保たない。Ab や Mon への忘却函手も極限を創出および保存する。 Ring における極限と余極限の例を挙げる: 有理整数環 Z は Ring の始対象である。 零環（自明環）は Ring の終対象である。 Ring における圏論的直積は環の直積で与えられる。これはちょうど、台集合の集合論的直積に成分ごとの加法および乗法を入れたものになっている。 環の族の余積は存在し、それは群の自由積と類似の構成によって与えられる。零環でない環からなる余積が零環となることが起こり得る。特に、各余積因子が互いに素な標数を持つときには必ずそれが起こる（環の族 (Ri)i∈I の余積の標数は、必ず各因子 Ri の標数を整除しなければならない）。 Ring における等化子はちょうど集合論的な等化子に等しい（二つの環準同型の等化子は必ず部分環として得られる）。 二つの環準同型 f, g: R → S の余等化子は、S を f(r) − g(r) (r ∈ R) なる形の元全体で生成されるイデアル で割った剰余環である。 環準同型 f: R → S に対し、f の核対（英語版）（すなわち、f と f の引き戻し）は、R 上の合同関係である。この合同関係の定めるイデアルは、環論の意味での f の核に他ならない。注意すべきは、圏論的核は（零射が存在しないから）Ring において意味を為さない。 p-進整数環 Zp は整数の合同類環 Z/pnZ の成す列の Ring における逆極限である。
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