弱調和函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/18 02:16 UTC 版)
詳細は「弱調和函数（英語版）」を参照 函数（あるいはより一般にシュヴァルツ超函数）がラプラス方程式 Δf = 0 の弱解（シュヴァルツ超函数の意味での解）となるとき弱調和（英語版）であるという。 弱調和函数は殆ど至る所真の調和函数に一致し、特に滑らかである。弱調和超函数とは、真の調和函数に同伴するシュヴァルツ超函数のことであり、従ってこれもまた滑らかである。これラプラス方程式に関するワイルの補題という。 このほかにもラプラス方程式の弱バージョン（英語版）で有用なものがたくさんある。そういったものの一つはディリクレの原理で、これはソボレフ空間 H1(Ω) に属する調和函数をディリクレエネルギー積分 J ( u ) := ∫ Ω | ∇ u | 2 d x {\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx} を局所変分に関して最小化するものとして表現する。すなわち、調和函数 u ∈ H1(Ω) は、任意の v ∈ C∞c(Ω) に対して（あるいは同じことだが v ∈ H10(Ω) に対して J(u) ≤ J(u + v) を満たす。
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