全微分と線型近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/08 02:35 UTC 版)
全微分可能な函数 f: Rn → R の点 p ∈ Rn における全微分商 (total derivative) は、函数 h ↦ f ( p + h ) − f ( p ) {\displaystyle h\mapsto f(p+h)-f(p)} を近似する線型写像であり、h1, …, hn が十分小さいとき f ( p + h ) − f ( p ) ≈ ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) h i ( h = ( h 1 , … , h n ) ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,h_{i}\quad (h=(h_{1},\dots ,h_{n}))} と書くことができる。 現代数学において、この写像は f の p における全微分 (total differential) df(p) と呼ばれる（この意味において、全微分商と全微分は同義である）。微分小 dxi を h の第 i-成分 hi を対応させる写像 dxi(h) = hi と見れば、写像としての等式 d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) d x i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p){\mathit {dx}}_{i}} が成り立ち、上記の近似式は f ( p + h ) − f ( p ) ≈ [ d f ( p ) ] ( h ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx [\mathrm {d} f(p)](h)} と書くことができる。 伝統的には、自然科学の広範な分野において、微分小 dxi を微小変分 hi それ自身と考えることがよく行われる。このとき、f の全微分 df はその変分の線型主要部であり、上記の近似式は Δ f = f ( p + d x ) − f ( p ) ≈ d f {\displaystyle \Delta f=f(p+{\mathit {dx}})-f(p)\approx {\mathit {df}}} あるいは f ( p + d x ) ≈ f ( p ) + d f {\displaystyle f(p+{\mathit {dx}})\approx f(p)+{\mathit {df}}} と書くことができる。
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