作用素の拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
X をその境界が行儀悪すぎないような（たとえば境界が多様体になっているとか、あるいはより自由だがより曖昧な「錐体条件」を満足するなど）開領域とすると、X 上の函数を Rn 上の函数に写す作用素 A で Au(x) = u(x) が殆ど全ての x ∈ X で成立し、 A は各 1 ≤ p ≤ ∞ と整数 k に対して Wk,p(X) を Wk,p(Rn) へ連続に写す という条件を満足するものが存在する。このような作用素 A を X に対する作用素の拡張という。 拡張作用素は非整数 s に対する Hs(X) を定義する最も自然な方法である（フーリエ変換をとることは大域操作であるため、それを使って X 上で直接に作業することはできない）。ここでは u が Hs(X) に属するのは Au が Hs(Rn) に属するときであり、かつそのときに限るということによって Hs(X) を定義する。同様にして、X が拡張作用素を持つ限り、複素補間によっても同じ Hs(X) が得られる。X が拡張作用素を持たないときは、複素補間が Hs(X) を得る唯一の方法である。 結果として、補間不等式はこの場合にも成立する。
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