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交代行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/13 23:44 UTC 版)

線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、英: alternating matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、英: skew-symmetric matrix）または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、英: antisymmetric matrix, antimetric matrix^[1]; 反称行列）は、正方行列 $A$ であってその転置 $A ⊤$ が自身の $-1$ 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる^{[注釈 1]}。

注

注釈

^ ^a ^b ^c 本項において（何も言わなければ）、係数体の標数は $2$ でない ( $1 + 1 \neq 0$ ) と仮定する。標数が $2$ のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 $2$ のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 $2$ のとき「交代行列」は歪対称（=対称）行列と異なる。
^ 標数が $2$ の体上では $1 ⁄ 2$ -倍写像が定義されないから、対称成分・歪対称成分ともこれでは定義できない。以下は標数が $2$ でない任意の体上で成り立つ議論であることに注意せよ。

出典

^ Reyment, Jöreskog & Marcus 1996, p. 68.
^ Eves 1980.
^ Cayley, Arthur (1847). “Sur les determinants gauches [On skew determinants]”. Crelle's Journal 38: 93-96. Reprintend in Cayley, A. (2009). “Sur les Déterminants Gauches”. The Collected Mathematical Papers. 1. p. 410. doi:10.1017/CBO9780511703676.070. ISBN 978-0-511-70367-6
^ 佐武 1974, p. 81.
^ 佐武 1974, p. 189.
^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Cluster algebras I: Foundations". arXiv:math/0104151v1。