一般化されたストークスの定理とは？わかりやすく解説

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一般化されたストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

一般化されたストークスの定理またはストークス-カルタンの定理^[1]とは、ベクトル解析や微分幾何学における多様体上の微分形式の積分についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これはニュートンの微分積分学の基本定理の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける^[2]。

^ 数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、熱力学では $\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U$ がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 $W$ は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、 $U$ はサンプルの温度 $α 1 := T$ 、体積 $α 2 := V$ 、および電気分極 $α 3 := P$ の関数であり、 $\mathrm {d} _{\text{total}}U=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}$ であり、円の記号は必要である。たとえば「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
$\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U{\stackrel {!}{=}}0$
^ $γ$ と $Γ$ はどちらも閉曲線だが、 $Γ$ は必ずしもジョルダン曲線とは限らない。

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