一般化されたストークスの定理との対応
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:34 UTC 版)
「グリーンの定理」の記事における「一般化されたストークスの定理との対応」の解説
グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、R2の有界閉領域D 上で1次の微分形式ωを考えた場合に相当する。 ∫ ∂ D ω = ∫ D d ω {\displaystyle \int _{\partial D}\omega =\int _{D}d\omega } 実際、１形式 ω = P d x + Q d y , {\displaystyle \omega =Pdx+Qdy,\,} に対して、その外微分は d ω = ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle d\omega ={\biggl (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}dx\wedge dy} であり、グリーンの定理に対応している。
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一般化されたストークスの定理との対応
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 04:42 UTC 版)
「発散定理」の記事における「一般化されたストークスの定理との対応」の解説
発散定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、2次微分形式のωを考えた場合に相当する。 ∫ ∂ V ω = ∫ V d ω {\displaystyle \int _{\partial V}\omega =\int _{V}\mathrm {d} \omega } ここでωは ω := F 1 d y ∧ d z + F 2 d z ∧ d x + F 3 d x ∧ d y {\displaystyle \omega :=F_{1}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+F_{2}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+F_{3}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であり、その外微分は次式で与えられる。 d ω := ( ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \mathrm {d} \omega :={\biggl (}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
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