一般化されたクロネッカーのデルタとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 21:46 UTC 版)
「コーシー・ビネの公式」の記事における「一般化されたクロネッカーのデルタとの関係」の解説
A ≐ ( δ 1 i 1 ⋯ δ m i 1 ⋯ δ n i 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ δ 1 i m ⋯ δ m i m ⋯ δ n i m ) , B ≐ ( δ j 1 1 ⋯ δ j m 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 m ⋯ δ j m m ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 n ⋯ δ j m n ) ( i k ∈ [ n ] , j k ∈ [ n ] f o r k ∈ [ m ] ) {\displaystyle A\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{1}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{1}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{m}}\end{pmatrix}},\quad B\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{j_{1}}^{1}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{m}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{n}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{n}\end{pmatrix}}\quad (i_{k}\in [n],j_{k}\in [n]\mathrm {~for~} k\in [m])} とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}} である。これをコーシー・ビネの公式に代入し、一般化されたクロネッカーのデルタ δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m ≡ | δ j 1 i 1 ⋯ δ j m i 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 i m ⋯ δ j m i m | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&\equiv {\begin{vmatrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{m}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} を使えば、 δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n δ k 1 ⋯ k m i 1 ⋯ i m δ j 1 ⋯ j m k 1 ⋯ k m ( i p ∈ [ n ] , j p ∈ [ n ] f o r p ∈ [ m ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}\delta _{k_{1}\cdots k_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{k_{1}\cdots k_{m}}\quad (i_{p}\in [n],j_{p}\in [n]\mathrm {~for~} p\in [m])\end{aligned}}} が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。 これは単位行列の基本的性質 δ j i = ∑ k = 1 n δ k i δ j k ( i ∈ [ n ] , j ∈ [ n ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j}^{i}&=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{k}\quad (i\in [n],j\in [n])\end{aligned}}} の一般化である。
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