リー群とリー環の指標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/26 17:47 UTC 版)
詳細は「代数的指標（英語版）」を参照 G をリー群、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー環とし、H と h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をそれぞれカルタン部分群、カルタン部分環とする。 V を G の表現とする。V のウェイト空間を Vλと書いて、リー群とリー環の形式指標を χ V = ∑ dim V λ e λ {\displaystyle \chi _{V}=\sum \dim V_{\lambda }e^{\lambda }} と定義できる、ここで和はウェイト格子のすべてのウェイトを走る。上の式で eλ は e λ ⋅ e μ = e λ+μ を満たす形式的な対象である。この形式指標は他の群の通常の指標と関係する。eX ∈ H, ただし H は G のカルタン部分群（つまり X は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} に属する）、ならば、 Tr ( e X ) = ∑ dim V λ e λ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (e^{X})=\sum \dim V_{\lambda }e^{\lambda (X)}} である。テンソル積や他の表現の分解の上の議論は形式指標に対しても成り立つ。コンパクトリー群の場合には、ワイルの指標公式を形式指標を計算するのに使うことができる。
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