リース平均
リース平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 04:29 UTC 版)
「フォン・マンゴルト関数」の記事における「リース平均」の解説
フォン・マンゴルト関数のリース平均は、以下の式で与えられる。 ∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ Λ ( n ) = − 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ′ ( s ) ζ ( s ) λ s d s = λ 1 + δ + ∑ ρ Γ ( 1 + δ ) Γ ( ρ ) Γ ( 1 + δ + ρ ) + ∑ n c n λ − n . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}} ここで、 λ と δ はリース平均を特徴付ける数値である。なお、 c > 1 とする必要がある。ρ についての総和はリーマンゼータ関数の零点を渡る総和であり、 ∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,} は、λ > 1 について収束級数であることを示せる。
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リース平均
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:46 UTC 版)
「ネールント–ライス積分」の記事における「リース平均」の解説
リース平均の議論において近い関連を持つ積分がしばしば生じる。ごく粗く述べれば、ペロンの公式がメリン変換に関係するのと同じ仕方で（無限級数を扱う代わりに有限級数を扱って）、リース平均にネールント–ライス積分が関係する。
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