リッドスキーの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:01 UTC 版)
「トレースクラス」の記事における「リッドスキーの定理」の解説
A {\displaystyle A} を、可分なヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 内のトレースクラス作用素とし、 { λ n ( A ) } n = 1 N , {\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},} N ≤ ∞ {\displaystyle N\leq \infty } を A {\displaystyle A} の固有値とする。 λ n ( A ) {\displaystyle \lambda _{n}(A)} は、代数的重複度も考慮して数え上げられる（すなわち、 λ {\displaystyle \lambda } の代数的重複度が k {\displaystyle k} であるなら、リスト λ 1 ( A ) , λ 2 ( A ) , … {\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots } において λ {\displaystyle \lambda } は k {\displaystyle k} 回繰り返される）ものとする。リッドスキーの定理（ヴィクター・リッドスキーの名にちなむ）によると、次式が成立する： ∑ n = 1 N λ n ( A ) = Tr ( A ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A).} ここで、左辺の級数は、コンパクト作用素 A {\displaystyle A} の固有値 { λ n ( A ) } n = 1 N {\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}} と特異値 { s m ( A ) } m = 1 M {\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}} の間に成立するワイルの不等式 ∑ n = 1 N | λ n ( A ) | ≤ ∑ m = 1 M s m ( A ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}|\lambda _{n}(A)|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)} によって、絶対収束することに注意されたい。例えば、を参照。
※この「リッドスキーの定理」の解説は、「トレースクラス」の解説の一部です。
「リッドスキーの定理」を含む「トレースクラス」の記事については、「トレースクラス」の概要を参照ください。
- リッドスキーの定理のページへのリンク
