ポリアの定理 Iとは? わかりやすく解説

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ポリアの定理 I

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/07/18 19:03 UTC 版)

ポーヤの計数定理」の記事における「ポリアの定理 I」の解説

集合 D 1 {\displaystyle D_{1}} 上の指数 P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} を持つ置換群をGとする。D1からD2への写像f,gに対して f ( π ( x ) ) = g ( x ) {\displaystyle f(\pi (x))=g(x)} となる π {\displaystyle \pi } が存在しないとき、fとgは異なるとする。このとき、D1からD2へのことなるものの個数は P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 1 | G | ∑ π ∈ G | D 2 | k ( π ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}} となる。 ここで、 | D 1 | = n , | D 2 | = m {\displaystyle |D_{1}|=n,|D_{2}|=m} とすると、 | P ( x k ) | = m n {\displaystyle |P(x_{k})|=m^{n}} となり、 P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 1 | G | ∑ π ∈ G | D 2 | k ( π ) = 1 | G | ∑ π ∈ G m k ( π ) {\displaystyle P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}|D_{2}|^{k(\pi )}={\frac {1}{|G|}}\sum _{\pi \in G}m^{k(\pi )}} である。

※この「ポリアの定理 I」の解説は、「ポーヤの計数定理」の解説の一部です。
「ポリアの定理 I」を含む「ポーヤの計数定理」の記事については、「ポーヤの計数定理」の概要を参照ください。

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