フレネ・セレの公式
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フレネ・セレの公式 (ふれねせれのこうしき、英: Frenet–Serret formulas) は、3次元ユークリッド空間内 R3 内の連続で微分可能な曲線上を動く粒子の運動学的性質、あるいは、曲線自身の幾何学的性質を記述するベクトル解析の概念の一つである。
- ^ 精密工学会誌 2012, p. 605-610.
- ^ Jorge Angeles 2003, p. 363-424.
- ^ 山田浩也 & 広瀬茂男 2008.
- ^ 山田浩也 2008.
- 1 フレネ・セレの公式とは
- 2 フレネ・セレの公式の概要
- 3 具体例
- 4 応用例
フレネ・セレ標構
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「フレネ・セレの公式」の記事における「フレネ・セレ標構」の解説
曲線上の各点 r (s) において、3組のベクトル {T, N, B} を以下のように定義する: T ≡ d r d s = r ′ ( t ) ‖ r ′ ( t ) ‖ ( 1 ) N ≡ d T / d s ‖ d T / d s ‖ = r ′ ( t ) × ( r ″ ( t ) × r ′ ( t ) ) ‖ r ′ ( t ) × ( r ″ ( t ) × r ′ ( t ) ) ‖ ( 2 ) B ≡ T × N = r ′ ( t ) × r ″ ( t ) ‖ r ′ ( t ) × r ″ ( t ) ‖ ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {T}}&\equiv {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} s}}\\&={\frac {{\boldsymbol {r}}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {r}}'(t)\right\|}}&(1)\\[1.0em]{\boldsymbol {N}}&\equiv {\frac {{\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}/{\mathrm {d} s}}{\left\|{\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}/{\mathrm {d} s}\right\|}}\\&={\frac {{\boldsymbol {r}}'(t)\times ({\boldsymbol {r}}''(t)\times {\boldsymbol {r}}'(t))}{\left\|{\boldsymbol {r}}'(t)\times ({\boldsymbol {r}}''(t)\times {\boldsymbol {r}}'(t))\right\|}}&(2)\\[1.0em]{\boldsymbol {B}}&\equiv {\boldsymbol {T}}\times {\boldsymbol {N}}\\&={\frac {{\boldsymbol {r}}'(t)\times {\boldsymbol {r}}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {r}}'(t)\times {\boldsymbol {r}}''(t)\right\|}}&(3)\end{aligned}}} これらは正規直交基底であり、この順に右手系をなすことがわかる。{T, N, B} をフレネ・セレ標構とよぶ。
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