パンルヴェ方程式の分類
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:56 UTC 版)
「パンルヴェ方程式」の記事における「パンルヴェ方程式の分類」の解説
以下の6種類の方程式に、伝統的にパンルヴェ I から VI までの番号が振られている（括弧内は発見者）。 I (Painlevé) d 2 y d t 2 = 6 y 2 + t {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t} II (Painlevé) d 2 y d t 2 = 2 y 3 + t y + α {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha } III (Painlevé) t y d 2 y d t 2 = t ( d y d t ) 2 − y d y d t + δ t + β y + α y 3 + γ t y 4 {\displaystyle ty{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=t\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}-y{\frac {dy}{dt}}+\delta t+\beta y+\alpha y^{3}+\gamma ty^{4}} IV (Gambier) y d 2 y d t 2 = 1 2 ( d y d t ) 2 + β + 2 ( t 2 − α ) y 2 + 4 t y 3 + 3 2 y 4 {\displaystyle y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}+\beta +2(t^{2}-\alpha )y^{2}+4ty^{3}+{\frac {3}{2}}y^{4}} V (Gambier) d 2 y d t 2 = ( 1 2 y + 1 y − 1 ) ( d y d t ) 2 − 1 t d y d t + ( y − 1 ) 2 t ( α y + β y ) + γ y t + δ y ( y + 1 ) y − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma \,{\frac {y}{t}}+\delta \,{\frac {y(y+1)}{y-1}}\end{aligned}}} VI (R. Fuchs) d 2 y d t 2 = 1 2 ( 1 y + 1 y − 1 + 1 y − t ) ( d y d t ) 2 − ( 1 t + 1 t − 1 + 1 y − t ) d y d t + y ( y − 1 ) ( y − t ) t 2 ( t − 1 ) 2 ( α + β t y 2 + γ t − 1 ( y − 1 ) 2 + δ t ( t − 1 ) ( y − t ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left(\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right)\end{aligned}}} ここでパラメータ α, β, γ, δ は複素定数である。III-型方程式では y と t をスケール変換してパラメータをふたつ減らすことができ、同様に V-型はパラメータをひとつ減らせる。つまりこれらの方程式では本当の意味での独立なパラメータはそれぞれ2つ、および3つである。
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